洛谷P1447 - [NOI2010]能量采集

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Description

给出\(n,m(n,m\leq10^5)，\)计算$$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (2gcd(i,j)-1)$$

Solution

简单起见我们来钦定\(n\leq m\)，然后计算\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m gcd(i,j)\)。

\[ans = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m gcd(i,j) = \sum_{d=1}^n d\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=d]$$根据[洛谷P2522](http://www.cnblogs.com/VisJiao/p/LgP2522.html)，变换为
$$ ans = \sum_{d=1}^n d \sum_{k=1}^{⌊\frac{n}{d}⌋} \mu(k)⌊\frac{n}{kd}⌋⌊\frac{m}{kd}⌋ $$然后我们就可以计算了。
> 时间复杂度$O(n\sqrt n)$。

##Code
```cpp
//[NOI2010]能量采集
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using std::min; using std::swap;
typedef long long lint;
int const N=1e5+10;
int n,m;
int mu[N],pre[N];
int cntP,pr[N]; bool notP[N];
void init(int n)
{
mu[1]=1;
for(lint i=2;i<=n;i++)
{
if(!notP[i]) pr[++cntP]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=cntP;j++)
{
lint x=pr[j]*i; if(x>n) break;
notP[x]=true;
if(i%pr[j]) mu[x]=-mu[i]; else {mu[x]=0; break;}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=pre[i-1]+mu[i];
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m); if(n>m) swap(n,m);
init(m);
lint ans=0;
for(int g=1;g<=n;g++)
{
int n0=n/g,m0=m/g; lint res=0;
for(int L=1,R;L<=n0;L=R+1)
{
int v1=n0/L,v2=m0/L; R=min(n0/v1,m0/v2);
res+=1LL*v1*v2*(pre[R]-pre[L-1]);
}
ans+=res*g;
}
printf("%lld\n",ans*2-1LL*n*m);
return 0;
}
```\]