Gym 100801 J. Journey to the “The World’s Start” DP+单调队列优化+二分

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题目大意：有从左到右有n个车站，有n-1种车票，第i种车票一次最多可以坐 i 站(1<=i<=n)   每种票有固定的价钱p[i]，下车后可以继续上车，但每次下车都要再上车都要花费一定时间v[i]，第1和n站上车不花费时间，车从一站到相邻的一站需要1分钟。只能买一种车票，问在t时间内 所有能从第1站到 第n站的方案  花费 的票价最低是多少。

解题思路： 
这道题的关键在于如何求每种票起点到达终点所需的最少时间，如果找出了每种票到车站的最少时间，再直接判断哪种票最便宜就好了。

对于求每种票的时间，最直观的想法是对每一种票进行dp，设dp[i]为到i站所需的最少时间，k为此票最多能乘坐的站数，v[i]为在此站下车又上车的时间。 
dp[i]=min(dp(i-j))+v[i] 1<=j<=i-k 
对于n-1种票，每种票枚举n个车站，枚举到每个车站时还要向前推k个，复杂度为O(n^3)

但我们会发现，如果 坐n站的车票，能够在t时间内到达 。那么 坐n+1站的车票，也能够在t时间内到达。 这样我们就可以二分查找所需时间小于等于t-(n-1)的车票中能坐站数最少的车票就好了。（规定时间内能够到达的车票分界线）复杂度n^2*logn 还是会超时

对于每次dp，我们观察状态方程发现最佳状态是找dp[i-j](1<=j<=i-k)区间中的最小值，每次查找时间是o(k) 。其实我们可以维护一个长度为k的单调队列来找最小值。复杂度o(n*logn) ，解决。

AC代码

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn = 1e5+ ,mod = ,inf=0x3f3f3f3f;
 const double pi=acos(-1.0);
 typedef long long ll;
 ll dp[maxn];
 ll p[maxn],v[maxn],n,m;
 struct node
 {
     ll val,pos;
 }q[maxn];
 ll solve(ll k)
 {
     memset(dp,inf,sizeof(dp));
     ll head=,tail=;
     for(ll i=;i<=k;i++)   //前k个的最优解就是v[i]
     {
         dp[i]=v[i];
         while(head<=tail&&dp[i]<=q[tail].val)tail--;
         q[++tail].val=dp[i],q[tail].pos=i;
     }
     //cout<<tail<<endl;
     for(ll i=k;i<=n;i++)
     {
         while(i-q[head].pos>k)head++;     //注意下标范围
         dp[i]=min(dp[q[head].pos]+v[i],dp[i]);
         while(head<=tail&&dp[i]<=q[tail].val)tail--;   //维护单调性
         q[++tail].val=dp[i],q[tail].pos=i;
        //for(int j=1;j<=k;j++)                 //未优化之前代码
        // {
        //     if(i-j>0)
        //     dp[i]=min(dp[i-j]+v[i],dp[i]);
        // }
     }
     return dp[n];
 }
 int main()
 {
     freopen("journey.in","r",stdin);    //交题要用到文件流
     freopen("journey.out","w",stdout);
     scanf("%lld %lld",&n,&m);
     for(ll i=;i<=n-;i++)
         scanf("%lld",&p[i]);
     v[]=v[n]=;
     for(ll i=;i<=n-;i++)
         scanf("%lld",&v[i]);
     m-=n-;
     ll l=,r=n-;
     while(l<=r)   //二分
     {
         ll mid=(l+r)/;
         if(solve(mid)>m)
             l=mid+;
         else
             r=mid-;
     }
     ll ans=inf;
     for(ll i=l;i<=n-;i++)  //找到分界点从右边区间找最小值
     {
         ans=min(ans,p[i]);
     }
     printf("%lld\n",ans);
 }