[BZOJ 3823]定情信物

题面

定情信物

题解

　　这题主要考高中物理和数学。

　　首先定义 \(f[i][j]\) 表示 \(i\) 维超立方体中第 \(j\) 维元素的数量，根据实际意义，我们可以推出递推式： \(f[i][j]=2\cdot f[i-1][j]+f[i-1][j-1]\) 。

　　 \(i\) 维超立方体是由 \(i\!-\!1\) 维超立方体平移得来的，那么第 \(j\) 维元素来源为原来的第 \(j\) 维元素并复制了一份，加上原来的第 \(j\!-\!1\) 维元素通过平移而新构成了一部分。——Ezio

　　然后我们考虑其组合意义，发现 \(f[i][j]\) 表示把 \(i\) 个元素分为 \(j\) 份，每份第一个元素贡献为 \(1\) ，其它元素贡献为 \(2\) 。那么我们就可以定义 \(g[i][j]\) 表示把 \(i\) 个元素分为 \(j\) 份，每个元素贡献都为 \(2\) ，也就是说 \(g[i][j]=2^i\cdot C_i^j\) ，并且有 \(g[i][j]=2^j\cdot f[i][j]\) ，那么 \(f[i][j]=2^{i-j}\cdot C_i^j\) ，然后就能直接算了，注意要用 \(\text{Lucas}\) 。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int maxn=1e7+3;
int n,MOD;
int bin[maxn];
int Fac[maxn];
int Inv[maxn];
inline int Pow(int x,int k){
	int ans=1;
	for(;k;x=x*1ll*x%MOD,k>>=1)
		if(k&1)ans=ans*1ll*x%MOD;
	return ans;
}
inline int C(int n,int m){return Fac[n]*1ll*Inv[m]%MOD*Inv[n-m]%MOD;}
inline int Lucas(int n,int m){
	if(n<MOD && m<MOD)
		return n<m ? 0 : C(n,m);
	const int nn=n%MOD,mm=m%MOD;
	return nn<mm ? 0 : C(nn,mm)*1ll*Lucas(n/MOD,m/MOD)%MOD;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&MOD);
	int M=std::min(MOD-1,n);
	for(int i=Fac[0]=1;i<=M;++i)
		Fac[i]=Fac[i-1]*1ll*i%MOD;
	Inv[M]=Pow(Fac[M],MOD-2);
	for(int i=M-1;~i;--i)
		Inv[i]=Inv[i+1]*1ll*(i+1)%MOD;
	for(int i=bin[0]=1;i<=n;++i)
		bin[i]=(bin[i-1]<<1)%MOD;
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=n;++i)
		ans^=bin[n-i]*1ll*Lucas(n,i)%MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}