构造MaxTree

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来源：牛客网

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[编程题]构造MaxTree

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对于一个没有重复元素的整数数组，请用其中元素构造一棵MaxTree，MaxTree定义为一棵二叉树，其中的节点与数组元素一一对应，同时对于MaxTree的每棵子树，它的根的元素值为子树的最大值。现有一建树方法，对于数组中的每个元素，其在树中的父亲为数组中它左边比它大的第一个数和右边比它大的第一个数中更小的一个。若两边都不存在比它大的数，那么它就是树根。请证明这个方法的正确性，同时设计O(n)的算法实现这个方法。

给定一个无重复元素的数组A和它的大小n，请返回一个数组，其中每个元素为原数组中对应位置元素在树中的父亲节点的编号，若为根则值为-1。

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测试样例：

[3,1,4,2],4

返回：[2,0,-1,2]

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算法如下：

对于每个节点，寻找左右两个第一个大于它的数，选择其中的较小点作为父亲节点

现在需要证明

1. 每个点最多只有两个子节点
   
   利用反证法，假设节点i的某一侧有两个儿子节点,设为k1,k2。
   
   因为数组中不存在重复元素，所以可以假设\(k1<k2\)，那么根据算法，k1会以k2为父节点，于假设不符
   
   k1>k2的话，k2根本就不会找到i，同样不符。
   
   因此得证
2. 最后形成的是一颗树
   
   除了根节点，所有节点的都会有一个比它大的父节点，由于根节点是数组中最大的节点，那么所有的
   
   节点最终都会指向根节点。

最后为了寻找相邻最大数，使用单调栈算法即可，关于单调栈的设计和证明：http://www.cnblogs.com/zsyacm666666/p/6812896.html

public int[] buildMaxTree(int[] A, int n) {
        // write code here
		int ans[]=new int[A.length];
		int lb[]=new int[A.length];
		int rb[]=new int[A.length];
		Arrays.fill(lb,-1);Arrays.fill(rb,-1);
		Stack<Integer>stack=new Stack<>();
		for(int i=0;i<A.length;i++) {
			while(!stack.empty()&&A[stack.peek()]<A[i]) {
				stack.pop();
			}
			if(!stack.empty()) lb[i]=stack.peek();
			stack.push(i);
		}
		while(!stack.empty()) stack.pop();
		for(int i=A.length-1;i>=0;i--) {
			while(!stack.empty()&&A[stack.peek()]<A[i]) {
				stack.pop();
			}
			if(!stack.empty()) rb[i]=stack.peek();
			stack.push(i);
		}
		for(int i=0;i<A.length;i++) {
			if(lb[i]==-1&&rb[i]==-1) ans[i]=-1;
			else if(lb[i]==-1) ans[i]=rb[i];
			else if(rb[i]==-1) ans[i]=lb[i];
			else ans[i]=(A[lb[i]]<A[rb[i]]?lb[i]:rb[i]);
		}
		return ans;
}