HDU 4465 Candy （数学期望）

题意：有两个盒子各有n个糖（n<=2*10⁵），每天随机选1个（概率分别为p，1-p），然后吃掉一颗糖。直到有一天打开盒子一看，这个盒子没有糖了。输入n，p，求此时另一个盒子里糖的个数的数学期望。

思路：假设没糖的是A盒子，而B盒子还有0~n个糖。由于B盒子还有0个糖的情况的期望必为0，所以省略，只需要计算1~n的。

　　（1）当A盒没有糖时，B盒就可能有1~n个糖，概率为C(n+i，i)*(pⁿ⁺¹)*(1-p)^n-i。为啥还带个大C？这是情况的种数（想象取糖时还有个顺序，有C种可能的顺序），不然的话，单靠这两个小于1的数是超级小的。

　　（2）根据（1）种的概率公式，穷举B盒可能还有 i 个糖，那么对于每种情况，期望值为i*C(n+i，i)*(pⁿ⁺¹)*(1-p)^n-i，累加这些期望值就行了。同理，B盒没有糖也是这样算，只是概率换成了（1-p）。两种情况的累加期望就是答案。

　　（3）这样还是不行，求C时会爆LL，对p求幂时结果又太小，精度损失严重。C(n+i，i)*(pⁿ⁺¹)*(1-p)^n-i这个式子的结果本身是不大的。考虑取这个式子对数，化成相加的形式x=log^C(n+i，i)+ log(pⁿ⁺¹)+log(1-p)^n-i ，（注意指数可以提到前面作为乘的形式），求出x作为指数来求e^x这样就OK了（这个函数是exp(x) ）。

　　（4）这个C还是很难求，比如当n=200000时，i 还没有到10时，C(200000+10, 10)就爆了。对此，由于在穷举i时，C(n+i,i)是可以递推的，那么我们可以先将C给逐步取对数，再相加就行了。递推是这样的，c+=log((n+i)/i)。

　　（5）总复杂度是O(n)。时间在500ms以下。

　　

 #include <bits/stdc++.h>
 #define pii pair<int,int>
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define LL long long
 using namespace std;
 const int N=;
 double cal(double p,int n)
 {
     double  c=, ans=;
     ans=n*exp((n+)*log(p));    //第2个盒子取0个的情况：即还剩下n个。
     for(int i=; i<n; i++)      //在第2个盒子中取了i个。
     {
         c+=log((double)(n+i)/i);   //log(c)这样求才能防溢出。
         ans+=(n-i)*exp( c+ (n+)*log(p)+ i*log(-p) );
     }
     return ans;
 }

 int main()
 {
     //freopen("input.txt", "r", stdin);
     int Case=, n;
     double p;
     while(~scanf("%d %lf", &n, &p))
         printf("Case %d: %.6f\n", ++Case, cal(p, n)+cal(-p,n) );
     return ;
 }

AC代码