数论基础之组合数&计数问题

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一.组合数：
问题引入：现在有 n 个球，取其中的 k 个球，问一共有多少
种方式？
答案：

公式直观解释：
我们考虑有顺序地取出 k 个球：第一次有 n 种选择，第二次有 n-1 种
选择，...，第 k 次有 n-k+1 种选择。故一共有
　　
种方案数；但如果不计算顺序的话，那么对于一种方案，其实有 k! 种
不同的顺序，所以再除以 k! 即为最终的答案。
实际编程所需要的公式：C(n,k) = C(n − 1,k) + C(n − 1,k − 1)
题目：
luogu 2822 组合数问题（边计算边模）
luogu 1313 计算系数（答案为：a n × b m × C(k,n)）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二.计数问题：
(1). 把 n 个数拆成 k 个非负整数，有多少种方案数？C(n,k)
(2). 把 n 个数拆成 k 个正整数，有多少种方案数？C(n,n-k+1)
1.放球问题：
1. 把 N 个不同的球放在 K 个不同箱子-----n^k
2. N 个相同的球放在 k 个不同的箱子-----C(n,n-k)
3. N 个不同的球放在 k 个相同的箱子
4. N 个相同的球放在 k 个相同的箱子
2.路径行走：
一个 N*M 的网格，每次只能向上或者向右，从左下角到右上角有
多少种方案数
C（n + m − 2，n − 1）

按照字典序的顺序从小写字母 a 开始按顺序给出序列 (序列中都为升序字符串,挑出长度位 L 的字符串有多少个？
　　　　　　　　　　　　　　　　

练习：
（1）Codevs 1262 不要把球传我
（2）HDU 5698 瞬间移动
（3）HDU 1465
{
错排公式：设 F[i] 为每个数都不在自己的位置上的排列数。
* 则有公式 F[i] = (n-1) (F[i-1] + F[i-2])
假设在第 1 个位置上的是 k(k ̸= 1)，则有两种情况：
1 在 k 的位置上的是 1。则这时候只需要要求其他的 n-2 个数不在
位置上即可。
2 在 k 的位置上不是 1。把 1 看作 k，相当于 n-1 个数都不在自己的
位置上。
}
（4）HDU 4704 Sum

{

　　

}