2018.08.30 游戏(概率dp)
题目描述
Alice 和 Bob 两个人正在玩一个游戏,游戏有很多种任务,难度为 p 的任务(p是正整数),有 1/(2^p) 的概率完成并得到 2^(p-1) 分,如果完成不了,得 0 分。一开始每人都是 0 分,从 Alice 开始轮流做任务,她可以选择任意一个任务来做;而 Bob 只会做难度为 1 的任务。只要其中有一个人达到 n 分,即算作那个人胜利。求 Alice 采取最优策略的情况下获胜的概率。
输入格式
一个正整数 n ,含义如题目所述。
输出格式
一个数,表示 Alice 获胜的概率,保留 6 位小数。
样例数据 1
输入
1
输出
0.666667
备注
【数据范围】
对于 30% 的数据,n≤10
对于 100% 的数据,n≤500
概率dp入门题吧。
令f[i][j]表示Alice拿i分,Bob拿j分时的最优概率。
假设这一轮Alice选择难度为p的任务,且2^p=k。
显然有
f[i][j]=f[i+k][j]/4k+f[i+k][j+1]/4k+f[i][j+1]∗(2k−1)/4k+f[i][j]∗(2k−1)/4k" role="presentation" style="position: relative;">f[i][j]=f[i+k][j]/4k+f[i+k][j+1]/4k+f[i][j+1]∗(2k−1)/4k+f[i][j]∗(2k−1)/4kf[i][j]=f[i+k][j]/4k+f[i+k][j+1]/4k+f[i][j+1]∗(2k−1)/4k+f[i][j]∗(2k−1)/4k
合并同类项之后变成了:
f[i][j]=(f[i+k][j]+f[i+k][j+1]+f[i][j+1]∗(2k−1))/(2k+1)" role="presentation" style="position: relative;">f[i][j]=(f[i+k][j]+f[i+k][j+1]+f[i][j+1]∗(2k−1))/(2k+1)f[i][j]=(f[i+k][j]+f[i+k][j+1]+f[i][j+1]∗(2k−1))/(2k+1)
代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define N 505
using namespace std;
int n;
double f[N][N];
int main(){
cin>>n;
for(int i=0;i<=n;++i)f[n][i]=1.0;
for(int i=n-1;i>=0;--i)
for(int j=n-1;j>=0;--j){
double tmp=0.0;
for(int k=1;k/2<=n;k<<=1){
int l=min(k+i,n);
tmp=max(tmp,(f[l][j]+f[l][j+1]+f[i][j+1]*(2*k-1))/(2*k+1));
}
f[i][j]=tmp;
}
printf("%lf",f[0][0]);
return 0;
}
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