其他-pkuwc2019数学考试题目

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十道填空题，在poj上举行，选手提交答案，系统将答案自动填入一个作用是输出答案的程序，再将该程序提交评测（由于该程序变量名为longlong，所以选手可以从此得知答案的范围为longlong储存的范围整数）

以下是题目：

• 1：一棵顶点有标号的\(8\)个节点的树，要求其中有两个点度数为\(3\)，两个点度数为\(2\)，其余点度数为\(1\)，问有多少不同的满足条件的树（两棵树不同当且仅当存在两个编号，两编号之间是否有边的情况在两棵树中不同）
• 2：给定单位正方体，每次只能走棱和面对角线，要求路径不自交（包括不能在点和线处相交），问从正方体的一个点走到体对角线所对应的另一个点，路径最长可以多长（答案简化为\(a+\sqrt b\)，要求输出\(a+b\)）
• 3：给定梯形\(ABCD\)，\(AB\)与\(CD\)平行，一个半径为\(r\)的圆圆心在\(AB\)上，并与\(BC,CD,AD\)相切，\(AB=200,CD=50,r=49\)，问\(AD\cdot BC\)
• 4：定义\(\{F_i\}\)为斐波那契数列，其中\(F_1=F_2=1\)，问\(\prod_{i=1}^{20192019}F_i\)分解质因数后\(2\)的幂
• 5：在一个\(15\times 15\)的方格中放置\(15\)个車，定义一种放置方案的权值为所有車中横纵坐标乘积最小值，问所有情况的期望权值（答案可以简化为\(\frac ab\)，输出\(a+b\)）
• 6：一个\(20182018\times 20182018\)的方格，其中前\(10091009\)行中，第\(i\)行删去中间\(2(i-1)\)个格子，后\(10091009\)行中，倒数第\(i\)行删去中间\(2(i-1)\)个格子，用\(1\times 2\)的多米诺骨牌覆盖这些方格（骨牌可以旋转），要求骨牌不能放在删去位置，问最多能放多少骨牌
• 7：定义数字集合\(\{A\}\)的权值为：取出集合中最小的数设为\(a\)，集合中第\(a\)小的数，若集合大小小于\(a\)，则权值为零。问从集合\(\{1,2,\cdots,2019\}\)中任意取\(1643\)元子集的权值期望（输出方法同\(5\)）
• 8：定义\(k\)为“好的”，当且仅当对于所有的正整数\(n\)，若\(n\)能被分解成\(k\)个因数的平方和，则一定能被拆分为\(k\)个因数的和。问共有多少个“好的”的数，若有无穷个输出\(-1\)
• 9：在圆上划分\(2019\)等分点，不断在两个点之间连边，每次要求连的边与之前的边相交不超过一次，问最多能连多少边
• 10：定义\(n\)为“好的”，当且仅当集合\(A=\{1,2,\cdots,n\}\)能被划分为两种颜色，是的恰好有\(2019\)对有序三元组\((a,b,c)\in A\times A\times A\)满足\(a,b,c\)都是一种颜色，且\(n|(x+y+z)\)。问所有“好的”的数之和