「POJ2891」Strange Way to Express Integers【数学归纳法，扩展中国剩余定理】

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题目描述

给你\(a_1...a_n\)和\(m_1...m_n\)，求一个最小的正整数\(x\)，满足\(\forall i\in[1,n] \equiv a_i(mod \ mi)\)。

分析

很显然，中国剩余定理无法解决\(m_i\)之间非互质的问题。
需要用\(exCRT\)。

假设\(x\)是前\(k-1\)个方程推出来的答案，那么第一个方程可以直接得出自己的答案就是\(a_1\)。
设\(M=lcm(m_1,m_2...m_{k-1})\)，那么显然得到\(x+i\times M\)为前\(k-1\)个方程的通解。

考虑到第\(k\)个我们的现在要求的方程。
那么答案就是\(x+t\times M\equiv a_k(mod \ m_k)\)
发现这个方程中只有一个未知数\(t\)，那么只需要用扩欧来算出最小解就可以了。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template <typename T> T power(T x, T y, T mod) { x %= mod; T res = 1; for (; y; y >>= 1) { if (y & 1) res = (res * x) % mod; x = (x * x) % mod; } return res; }
template <typename T> void read(T &x) {
    x = 0; T fl = 1; char ch = 0;
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if (ch == '-') fl = -1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
    x *= fl;
}
template <typename T> void write(T x) {
    if (x < 0) x = -x, putchar('-');
    if (x > 9) write(x / 10); putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) { write(x); puts(""); }
ll a[10005], m[10005], M = 1ll, ans = inf * 1ll, x, y;
int n;
ll gcd(ll a, ll b) { return b == 0? a: gcd(b, a % b); }
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) { x = 1; y = 0; return a; }
    ll d = exgcd(b, a % b, x, y), z = x; x = y; y = z - y * (a / b);
    return d;
}
ll inv(ll a, ll b) {
    ll x, y; ll d = exgcd(a, b, x, y);
    return d == 1 ? (x % b + b) % b : -1;
}
ll CRT(ll *m, ll *a, int n) {
    ll x = a[1], M = m[1];
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        ll c = a[i] - x, d = gcd(M, m[i]);
        if (c % d) return -1;
        ll k = (c / d) * inv(M / d, m[i] / d) % (m[i] / d);
        x += k * M; M *= m[i] / d;
    }
    return (x % M + M) % M;
}
int main() {
    while (~scanf("%d", &n)) {
        for (int i = 1; i <= n; i ++) read(m[i]), read(a[i]);
        ll res = CRT(m, a, n);
        writeln(res);
    }
    return 0;
}