【XSY1529】小Q与进位制 分治 FFT

题目大意

​　　小Q发明了一种进位制，每一位的变化范围是\(0\)~\(b_i-1\)，给你一个这种进位制下的整数\(a\)，问你有多少非负整数小于\(a\)。结果以十进制表示。

​　　\(n\leq 120000,0\leq a_i<b_i\leq 1000000\)

题解

​　　就是求这个数。

​　　那没什么好说的，直接分治FFT

　　处理左半边（低位）的\(c_1=\prod b_i\)和答案\(d_1\)，右半边的\(c2,d2\)

​　　那么\(c=c_1\times c_2,d=d_2\times c_1+d_1\)

​　　时间复杂度：\(O(n\log^2 n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
//typedef long double ld;
typedef double ld;
//const ld pi=3.1415926535897932384626433832L;
const ld pi=acos(ld(-1));
struct cp
{
    ld x,y;
    cp(ld _x=0,ld _y=0)
    {
        x=_x;
        y=_y;
    }
};
cp conj(cp &a){return cp(a.x,-a.y);}
cp operator +(cp &a,cp &b){return cp(a.x+b.x,a.y+b.y);}
cp operator -(cp &a,cp &b){return cp(a.x-b.x,a.y-b.y);}
cp operator *(cp &a,cp &b){return cp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
cp operator /(cp &a,ld b){return cp(a.x/b,a.y/b);}
cp a1[500010];
cp a2[500010];
cp a3[500010];
cp w1[500010];
cp w2[500010];
int rev[500010];
int N;
namespace fft
{
    void get(int n)
    {
        N=1;
        while(N<n)
            N<<=1;
        int i;
        for(i=2;i<=N;i<<=1)
        {
            w1[i]=cp(cos(ld(2*pi/i)),sin(ld(2*pi/i)));
            w2[i]=conj(w1[i]);
        }
        for(i=0;i<N;i++)
            rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?(N>>1):0);
    }
    void fft(cp *a,int t)
    {
        int i,j,k;
        cp w,wn,u,v;
        for(i=0;i<N;i++)
            if(rev[i]<i)
                swap(a[i],a[rev[i]]);
        for(i=2;i<=N;i<<=1)
        {
            wn=t?w1[i]:w2[i];
            for(j=0;j<N;j+=i)
            {
                w=cp(1);
                for(k=j;k<j+i/2;k++)
                {
                    u=a[k];
                    v=a[k+i/2]*w;
                    a[k]=u+v;
                    a[k+i/2]=u-v;
                    w=w*wn;
                }
            }
        }
        if(!t)
            for(i=0;i<N;i++)
                a[i]=a[i]/N;
    }
}
ll a[500010];
ll b[500010];
ll c[500010];
ll d[500010];//答案
ll e[500010];
ll f[500010];
const ll A=1000;
const ll B=1000000;
void cheng(ll *a1,int n1,ll *a2,int n2,ll *a3,int n3)
{
    int i,j;
    for(i=0;i<n3;i++)
        a3[i]=0;
    for(i=0;i<n1;i++)
        for(j=0;j<n2;j++)
            a3[i+j]+=a1[i]*a2[j];
}
void clear(ll *a,int n)
{
    int i;
    for(i=0;i<n;i++)
        a[i]=0;
}
void cheng(ll *a1,int n1,ll a2)
{
    int i;
    for(i=0;i<n1;i++)
        a1[i]*=a2;
}
void jia(ll *a1,int n1,ll *a2,int n2,ll *a3,int n3)
{
    int i;
    for(i=0;i<n3;i++)
        a3[i]=0;
    for(i=0;i<n1||i<n2;i++)
    {
        ll s1=(i<n1?a1[i]:0);
        ll s2=(i<n2?a2[i]:0);
        a3[i]+=s1+s2;
    }
}
void jia(ll *a1,ll *a2,int n2)
{
    int i;
    for(i=0;i<n2;i++)
        a1[i]+=a2[i];
}
void solve(int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
//      d[l]=b[l];
//      c[l]=a[l];
        d[l*2]=b[l]%A;
        d[l*2+1]=b[l]/A;
        c[l*2]=a[l]%A;
        c[l*2+1]=a[l]/A;
        return;
    }
	if(r-l+1<=20)
	{
	  	int i,j;
	  	int len=(r-l+1);
	  	clear(c+l*2,len*2);
	  	clear(d+l*2,len*2);
	  	c[l*2]=1;
	  	for(i=0;i<len;i++)
		{
	    	memcpy(e+l*2,c+l*2,len*sizeof(ll)*2);
	      	cheng(e+l*2,len*2,b[l+i]);
	      	for(j=0;j<len*2-1;j++)
	      	{
	          	e[l*2+j+1]+=e[l*2+j]/A;
	          	e[l*2+j]%=A;
	      	}
	      	jia(d+l*2,e+l*2,len*2);
	      	for(j=0;j<len*2-1;j++)
	      	{
	          	d[l*2+j+1]+=d[l*2+j]/A;
	          	d[l*2+j]%=A;
	      	}
	      	cheng(c+l*2,len*2,a[l+i]);
	      	for(j=0;j<len*2-1;j++)
	      	{
	          	c[l*2+j+1]+=c[l*2+j]/A;
	        	c[l*2+j]%=A;
	      	}
	  	}
	  	return;
	}
    int mid=(l+r)>>1;
    solve(l,mid);
    solve(mid+1,r);
    int llen=mid-l+1;
    int rlen=r-mid;
    int len=r-l+1;
    llen*=2;
    rlen*=2;
    len*=2;
//  if(len>50000&&r==69999)
//      int xfz=1;
//  if(l==0)
//      int xfz=1;
    int i;
    fft::get(len);
    for(i=0;i<llen;i++)
        a1[i]=cp(c[l*2+i]);
    for(i=llen;i<N;i++)
        a1[i]=cp();
    for(i=0;i<rlen;i++)
    {
        a2[i]=cp(c[mid*2+2+i]);
        a3[i]=cp(d[mid*2+2+i]);
    }
    for(i=rlen;i<N;i++)
        a2[i]=a3[i]=cp();
    fft::fft(a1,1);
    fft::fft(a2,1);
    fft::fft(a3,1);
    for(i=0;i<N;i++)
    {
        a2[i]=a2[i]*a1[i];
        a3[i]=a3[i]*a1[i];
    }
    fft::fft(a2,0);
    fft::fft(a3,0);
//  if(len>50000&&r==69999)
//      int xfz=1;
    for(i=0;i<len;i++)
    {
        c[l*2+i]=ll(a2[i].x+0.4);
        e[l*2+i]=ll(a3[i].x+0.4);
    }
    for(i=0;i<llen;i++)
        e[l*2+i]+=d[l*2+i];
    for(i=0;i<len;i++)
        d[l*2+i]=e[l*2+i];
    for(i=0;i<len-1;i++)
    {
        c[l*2+i+1]+=c[l*2+i]/A;
        c[l*2+i]%=A;
        d[l*2+i+1]+=d[l*2+i]/A;
        d[l*2+i]%=A;
    }
//  cheng(c+l,llen,d+mid+1,rlen,e,len);
//  jia(e,len,d+l,llen,f,len);
//  int i;
//  for(i=0;i<len;i++)
//      d[l+i]=f[i];
//  for(i=0;i<len-1;i++)
//  {
//      d[l+i+1]+=d[l+i]/A;
//      d[l+i]%=A;
//  }
//  cheng(c+l,llen,c+mid+1,rlen,e,len);
//  for(i=0;i<len;i++)
//      c[l+i]=e[i];
//  for(i=0;i<len-1;i++)
//  {
//      c[l+i+1]+=c[l+i]/A;
//      c[l+i]%=A;
//  }
}
int main()
{
//  	freopen("conv.in","r",stdin);
//  	freopen("conv-2.out","w",stdout);
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i;
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&b[i]);
    solve(0,n-1);
    for(i=2*n-1;!d[i];i--);
    printf("%d",d[i]);
    for(i--;i>=0;i--)
//      output(d[i]);
        printf("%03d",d[i]);
    putchar('\n');
//  int n=4;
//  fft::get(n);
//  a1[0]=cp(1);
//  a1[1]=cp(2);
//  a2[0]=cp(1);
//  a2[1]=cp(2);
//  fft::fft(a1,1);
//  fft::fft(a2,1);
//  int i;
//  for(i=0;i<N;i++)
//      a1[i]=a1[i]*a2[i];
//  fft::fft(a1,0);
    return 0;
}