【CF618F】Double Knapsack（构造）

【CF618F】Double Knapsack（构造）

题面

洛谷

Codeforces

题解

很妙的一道题。

发现找两个数集很不爽，我们强制加强限制，我们来找两个区间，使得他们的区间和相等。

把区间和转为前缀和的形式，现在问题变成了，给定两个单增的数列\(A,B\)，不妨令\(A_n<B_n\)找到\(l1,r1,l2,r2\)，满足\(A_{r1}-A_{l1}=B_{r2}-B_{l2}\)，换一下就是\(B_{l2}-A_{l1}=B_{r2}-A_{r1}\)。

那么对于\(A\)数列的每个\(i\le [0,n]\)我们都一定可以在\(B\)数量中找到一个最小的\(j\)使得\(0\le B_j-A_i<n\)，证明就是因为每个元素都小于\(n\)。

那么这样子一共会产生\(n+1\)个差，根据鸽巢原理，必定有两个差相等，那么等价于我们构造出了一组答案。

这题最妙的地方就是在于本来限制相当宽松，我们强制加强了限制，反而能够更容易的得到解了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 1000100
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int n,a[MAX],b[MAX],fl;ll A[MAX],B[MAX];
void Output(int l1,int r1,int l2,int r2)
{
	if(fl)swap(l1,l2),swap(r1,r2);
	printf("%d\n",r1-l1);for(int i=l1+1;i<=r1;++i)printf("%d ",i);puts("");
	printf("%d\n",r2-l2);for(int i=l2+1;i<=r2;++i)printf("%d ",i);puts("");
	exit(0);
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)A[i]=A[i-1]+read();
	for(int i=1;i<=n;++i)B[i]=B[i-1]+read();
	if(A[n]>B[n])swap(A,B),fl=1;
	for(int i=0;i<n;++i)a[i]=-1;
	for(int i=0,j=0;i<=n;++i)
	{
		while(B[j]<A[i])++j;
		int d=B[j]-A[i];
		if(~a[d])Output(a[d],i,b[d],j);
		a[d]=i;b[d]=j;
	}
	puts("-1");
	return 0;
}