bnu——GCD SUM （莫比乌斯反演）

题目：GCD SUM

题目链接：http://www.bnuoj.com/v3/problem_show.php?pid=39872

算法：莫比乌斯反演、优化

 #include<stdio.h>
 #define N 100001
 typedef long long LL;
 bool pri[N]={};
 int prim[N],po=;
 int mu[N];
 LL f[N],ff[N];       //缩短时间
 /*
   莫比乌斯函数mu[i]的定义：
   1. 如果 i 是素数，那么mu[i]为-1;
   2. 如果 i 是由多个不同的素数组成的，那么mu[i]为-1或者1，取决于质因子的数量，奇数就为-1，偶数为1
   3. 如果 i 不满上面的条件，那么mu[i]为0，比如mu[4]=0;
   用途：想要判断1~m中有多少数与i互质，那么首先计算出i的质因子，采用容斥定理做，排除掉所有质因子的倍数，再加上被重复计算的
   比如i=6、m=20时，首先排除2的倍数，再排除3的倍数，现在6的倍数被排除两次，就加上6的倍数数量。
 */
 void Init()
 {
   mu[]=;
   for(int i=;i<N;i++)
   {
     if(!pri[i])
     {
       prim[po++]=i;
       mu[i]=-;
     }
     for(int j=;j<po;j++)
     {
       LL tmp=i*prim[j];
       if(tmp>=N) break;
       pri[tmp]=;
       mu[tmp]=mu[i]*-;
       if(i%prim[j]==)
       {
         mu[tmp]=;
         break;
       }
     }
   }
   f[]=ff[]=;
   //f[]：mu的前缀和
   for(int i=;i<N;i++)
   {
     f[i]=f[i-]+mu[i];
     ff[i]=ff[i-]+mu[i]*i;
   }
 }
 int min(int n,int m)
 {
   return n>m?m:n;
 }
 int main()
 {
   Init();
   int n,m;
   while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
   {
     LL ans=,ansx=,ansy=;
     int t=min(n,m);
     int j=;
     /*
       简化前：
       for(int i=1;i<=t;i++)
       {
         ans+=mu[i]*(n/i)*(m/i);
         可简化原因：(n/i)*(m/i)虽然i一直在变化，但很多时候是相等的，比如15/8等于1，一直到15/15还是等于1。。。
         ansx+=mu[i]*(m/i)*(i+(n/i)*i)*(n/i)/2;
         ...
       }
       n/i：得到值，随着i的增大，如果这个值一直不变，那么这些可以和在一起算。
       n/(n/i)：得到上面值得最大i，从上面的i到现在的i=n/(n/i)，之间的n/i，都等于n/i
     */
     for(int i=;i<=t;i=j+)
     {
       j=min(n/(n/i),m/(m/i));
       ans+=(f[j]-f[i-])*(n/i)*(m/i);
       ansx+=(ff[j]-ff[i-])*(m/i)*(+(n/i))*(n/i)/;
       ansy+=(ff[j]-ff[i-])*(n/i)*(+(m/i))*(m/i)/;
     }
     printf("%lld %lld %lld\n",ans,ansx,ansy);
   }
   return ;
 }