关于线段树

线段数是一种区间树



可以看出：叶子即为输入的数

假设一个节点为 x ，则其左儿子为 2x 右儿子为 2x+1

操作解析

约定

变量名 意义
input[] 输入的数
t[] 线段树
其中 t[] 是个结构体，包含左边界 l ，右边界 r 和区间和 sum
sum 并不是必须有的，这些维护的值需要根据题目要求增多、减少

基本操作

卡常必备

左儿子与右儿子

#define ls rt<<1

#define rs rt<<1|1

push_up

这里只是更新区间和，如有更多操作还需更改

当前区间和 = 左儿子区间和 + 右儿子区间和

inline void push_up(int rt){

    t[rt].sum=t[ls].sum+t[rs].sum;

}
build

作用：构建线段树

思路：

  1. 给当前的 l 和 r 区间赋值
  2. 判断是否为叶子节点，是就把当前位置的 sum 赋为 input[l] 并返回
  3. 否则继续构建
void build(int l,int r,int rt){

    t[rt].l=l,t[rt].r=r;

    if(l==r){

        t[rt].sum=input[l];

        return;

    }

    int mid=(l+r)>>1;

    build(l,mid,ls);

    build(mid+1,r,rs);

    push_up(rt);

}

正式开始

单点修改

作用：把位置 p 的值加上 k

当然我们需要维护

如何判断左右子树是否包含 p 呢？



左子树的右边界大于等于 p 就算包含

右子树的左边界小于等于 p 也是包含

思路：

  1. 先将当前位置的 sum 加上 k
  2. 如果达到叶子，返回
  3. 判断左右子树是否包含并继续更新
  4. push_up
void add(int p,int k,int rt){

    t[rt].sum+=k;

    if(t[rt].l==t[rt].r) return;

    if(p<=t[ls].r) add(p,k,ls);

    if(p>=t[rs].l) add(p,k,rs);

    push_up(rt);

    return;

}

区间修改（加法）

作用：把 [l,r] 区间加上 k

运用了懒标记思想， add 表示当前区间需要加上多少

下传标记

把 add 传到左右子树并更新 sum

sum 显然就要加上区间长度乘 add

inline void down(int rt){

    if(t[rt].add){

        t[ls].sum+=(t[ls].r-t[ls].l+1)*t[rt].add;

	t[rs].sum+=(t[rs].r-t[rs].l+1)*t[rt].add;

	t[ls].add+=t[rt].add;

	t[rs].add+=t[rt].add;

	t[rt].add=0;

    }

}
递归修改

思路：

  1. 如果该区间被完全包含，更新 sum 打上标记并返回
  2. down
  3. 判断左右区间是否包含并继续更新
  4. push_up
void pls(int l,int r,int k,int rt){

    if(l<=t[rt].l&&r>=t[rt].r){

        t[rt].sum+=k*(t[rt].r-t[rt].l+1);

	t[rt].add+=k;

	return;

    }

    down(rt);

    if(l<=t[ls].r) pls(l,r,k,ls);

    if(r>=t[rs].l) pls(l,r,k,rs);

    push_up(rt);

}

单点查询

思路：

  1. 如果找到该点，返回 sum
  2. 判断左右区间是否包含并继续查找
long long search(int p,int rt){

    if(t[rt].l==p&&t[rt].r==p)

        return t[rt].sum;

    if(p<=t[ls].r) return search(p,ls);

    if(p>=t[rs].l) return search(p,rs);

}

区间查询

思路：

  1. 如果区间被完全包含，返回 sum
  2. 判断左右区间是否包含并把查找的值加到 s
  3. 返回 s
long long query(int l,int r,int rt){

    if(l<=t[rt].l&&r>=t[rt].r)

        return t[rt].sum;

    long long s=0;

    if(l<=t[ls].r) s+=query(l,r,ls);

    if(r>=t[rs].l) s+=query(l,r,rs);

    return s;

}

例题

Warning

  1. 如果遇到需要区间修改的，查询时一定要下传标记
  2. 十年 OI 一场空，不开 long long 见祖宗

区改 + 区查

洛谷 P3372

#include<bits/stdc++.h>

#define ls rt<<1

#define rs rt<<1|1

using namespace std;

typedef long long ll;

struct QwQ{

    int l,r;

    ll sum,add;

}t[2000010];

inline void push_up(int rt){

    t[rt].sum=t[ls].sum+t[rs].sum;

}

inline void down(int rt){

    if(t[rt].add){

	t[ls].sum+=(t[ls].r-t[ls].l+1)*t[rt].add;

	t[rs].sum+=(t[rs].r-t[rs].l+1)*t[rt].add;

	t[ls].add+=t[rt].add;

	t[rs].add+=t[rt].add;

	t[rt].add=0;

    }

}

int input[500002];

void build(int l,int r,int rt){

    t[rt].l=l,t[rt].r=r;

    if(l==r){

	t[rt].sum=input[l];

	return;

    }

    int mid=l+r>>1;

    build(l,mid,ls);

    build(mid+1,r,rs);

    push_up(rt);

}

void pls(int l,int r,int k,int rt){

    if(l<=t[rt].l&&r>=t[rt].r){

        t[rt].sum+=k*(t[rt].r-t[rt].l+1);

	t[rt].add+=k;

	return;

    }

    down(rt);

    if(l<=t[ls].r) pls(l,r,k,ls);

    if(r>=t[rs].l) pls(l,r,k,rs);

    push_up(rt);

}

ll query(int l,int r,int rt){

    if(l<=t[rt].l&&r>=t[rt].r)

        return t[rt].sum;

    down(rt);

    ll s=0;

    if(l<=t[ls].r) s+=query(l,r,ls);

    if(r>=t[rs].l) s+=query(l,r,rs);

    return s;

}

int n,m,opt,x,y,k;

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&input[i]);

    build(1,n,1);

    while(m--){

        scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);

	if(opt==1){

	    scanf("%d",&k);

	    pls(x,y,k,1);

	}

	else printf("%lld\n",query(x,y,1));

    }

}

区改 + 单查

洛谷 P3368

#include<bits/stdc++.h>

#define ls rt<<1

#define rs rt<<1|1

using namespace std;

typedef long long ll;

struct QwQ{

    int l,r;

    ll sum,add;

}t[2000010];

inline void push_up(int rt){

    t[rt].sum=t[ls].sum+t[rs].sum;

}

inline void down(int rt){

    if(t[rt].add){

        t[ls].sum+=(t[ls].r-t[ls].l+1)*t[rt].add;

	t[rs].sum+=(t[rs].r-t[rs].l+1)*t[rt].add;

	t[ls].add+=t[rt].add;

	t[rs].add+=t[rt].add;

	t[rt].add=0;

    }

}

int input[500002];

void build(int l,int r,int rt){

    t[rt].l=l,t[rt].r=r;

    if(l==r){

	t[rt].sum=input[l];

	return;

    }

    int mid=l+r>>1;

    build(l,mid,ls);

    build(mid+1,r,rs);

    push_up(rt);

}

void pls(int l,int r,int k,int rt){

    if(l<=t[rt].l&&r>=t[rt].r){

        t[rt].sum+=k*(t[rt].r-t[rt].l+1);

	t[rt].add+=k;

	return;

    }

    down(rt);

    if(l<=t[ls].r) pls(l,r,k,ls);

    if(r>=t[rs].l) pls(l,r,k,rs);

    push_up(rt);

}

ll search(int l,int r,int rt){

    if(l<=t[rt].l&&r>=t[rt].r)

 	return t[rt].sum;

    down(rt);

    ll s=0;

    if(l<=t[ls].r) s+=search(l,r,ls);

    if(r>=t[rs].l) s+=search(l,r,rs);

    return s;

}

ll search(int p,int rt){

    if(t[rt].l==p&&t[rt].r==p)

        return t[rt].sum;

    down(rt);

    if(p<=t[ls].r) return search(p,ls);

    if(p>=t[rs].l) return search(p,rs);

}

int n,m,opt,x,y,k;

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&input[i]);

    build(1,n,1);

    while(m--){

        scanf("%d%d",&opt,&x);

        if(opt==1){

	    scanf("%d%d",&y,&k);

	    pls(x,y,k,1);

	}

	else printf("%lld\n",search(x,1));

    }

}

单改 + 区查

洛谷 P3374

#include<bits/stdc++.h>

#define ls rt<<1

#define rs rt<<1|1

using namespace std;

struct QwQ{int l,r,sum;}t[2000010];

inline void push_up(int rt){

    t[rt].sum=t[ls].sum+t[rs].sum;

}

int input[500002];

void build(int l,int r,int rt){

    t[rt].l=l,t[rt].r=r;

    if(l==r){

        t[rt].sum=input[l];

	return;

    }

    int mid=l+r>>1;

    build(l,mid,ls);

    build(mid+1,r,rs);

    push_up(rt);

}

void add(int p,int k,int rt){

    t[rt].sum+=k;

    if(t[rt].l==t[rt].r)

        return;

    if(p<=t[ls].r) add(p,k,ls);

    if(p>=t[rs].l) add(p,k,rs);

    push_up(rt);

    return;

}

int search(int l,int r,int rt){

    if(t[rt].l>=l&&t[rt].r<=r)

        return t[rt].sum;

    int s=0;

    if(t[ls].r>=l) s+=search(l,r,ls);

    if(t[rs].l<=r) s+=search(l,r,rs);

    return s;

}

int n,m,opt,x,y,k;

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&input[i]);

    build(1,n,1);

    while(m--){

        scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);

	if(opt==1) add(x,y,1);

	else printf("%d\n",search(x,y,1));

    }

}

复杂的区间操作

区间乘法

例题

洛谷 P3373

解析

多了一个懒标记 mul ，初值为 1

根据优先级，先乘再加，运算时 mod 不要忘

更新 mul 时 add 也对应乘一下，保证精度

代码
#include<bits/stdc++.h>

#define ls rt<<1

#define rs rt<<1|1

using namespace std;

typedef long long ll;

struct QwQ{

    int l,r;

    ll sum,add,mul;

}t[2000010];

int input[500002],mod;

inline void push_up(int rt){

    t[rt].sum=(t[ls].sum+t[rs].sum)%mod;

}

inline void down(int rt){

    t[ls].sum=(t[ls].sum*t[rt].mul+(t[ls].r-t[ls].l+1)*t[rt].add)%mod;

    t[rs].sum=(t[rs].sum*t[rt].mul+(t[rs].r-t[rs].l+1)*t[rt].add)%mod;

    t[ls].mul=(t[ls].mul*t[rt].mul)%mod;

    t[rs].mul=(t[rs].mul*t[rt].mul)%mod;

    t[ls].add=(t[ls].add*t[rt].mul+t[rt].add)%mod;

    t[rs].add=(t[rs].add*t[rt].mul+t[rt].add)%mod;

    t[rt].mul=1,t[rt].add=0;

}

void build(int l,int r,int rt){

    t[rt].l=l,t[rt].r=r,t[rt].mul=1;

    if(l==r) t[rt].sum=input[l];

    else{

        int mid=l+r>>1;

	build(l,mid,ls);

	build(mid+1,r,rs);

	push_up(rt);

    }

    t[rt].sum%=mod;

}

void xMul(int l,int r,int k,int rt){

    if(l<=t[rt].l&&r>=t[rt].r){

	t[rt].sum=(t[rt].sum*k)%mod;

	t[rt].mul=(t[rt].mul*k)%mod;

	t[rt].add=(t[rt].add*k)%mod;

	return;

    }

    down(rt);

    if(l<=t[ls].r) xMul(l,r,k,ls);

    if(r>=t[rs].l) xMul(l,r,k,rs);

    push_up(rt);

}

void pls(int l,int r,int k,int rt){

    if(l<=t[rt].l&&r>=t[rt].r){

        t[rt].sum=(t[rt].sum+k*(t[rt].r-t[rt].l+1))%mod;

	t[rt].add=(t[rt].add+k)%mod;

        return;

    }

    down(rt);

    if(l<=t[ls].r) pls(l,r,k,ls);

    if(r>=t[rs].l) pls(l,r,k,rs);

    push_up(rt);

}

ll query(int l,int r,int rt){

    if(l<=t[rt].l&&r>=t[rt].r)

 		return t[rt].sum;

 	down(rt);

    ll s=0;

    if(l<=t[ls].r) s+=query(l,r,ls);

    if(r>=t[rs].l) s+=query(l,r,rs);

    return(s%mod);

}

int n,m,opt,x,y,k;

int main(){

    scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&input[i]);

    build(1,n,1);

    while(m--){

	scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);

	if(opt==1){

	    scanf("%d",&k);

	    xMul(x,y,k,1);

	}

	else if(opt==2){

	    scanf("%d",&k);

	    pls(x,y,k,1);

	}

	else printf("%lld\n",query(x,y,1));

    }

}

区间开方

例题

洛谷 P4145

解析

这题的突破口在于： \(\sqrt{1}=1\)

由于是向下取整，所以最多开方六次就不变了



我们可以省去懒标记，多加一个 fir 表示区间最大值，区间开方时如果 fir 小于等于 1 就无须继续修改了

当修改到达叶子节点，把当前节点的 sum 和 fir 都开个方并返回，因为返回之后上一层会 push_up ，达到修改效果

代码

这题唯一坑点：左区间会比右区间大，需要交换

#include<bits/stdc++.h>

#define ls rt<<1

#define rs rt<<1|1

using namespace std;

typedef long long ll;

struct QwQ{

    int l,r;

    ll sum,fir;

}t[400010];

inline void push_up(int rt){

    t[rt].sum=t[ls].sum+t[rs].sum;

    t[rt].fir=max(t[ls].fir,t[rs].fir);

}

ll input[100005];

void build(int l,int r,int rt){

    t[rt].l=l,t[rt].r=r;

    if(l==r){

        t[rt].sum=t[rt].fir=input[l];

	return;

    }

    int mid=l+r>>1;

    build(l,mid,ls);

    build(mid+1,r,rs);

    push_up(rt);

}

void xSqrt(int l,int r,int rt){

    if(t[rt].l==t[rt].r){

	t[rt].sum=sqrt(t[rt].sum);

	t[rt].fir=sqrt(t[rt].fir);

	return;

    }

    if(l<=t[ls].r&&t[ls].fir>1) xSqrt(l,r,ls);

    if(r>=t[rs].l&&t[rs].fir>1) xSqrt(l,r,rs);

    push_up(rt);

}

ll search(int l,int r,int rt){

    if(l<=t[rt].l&&r>=t[rt].r)

        return t[rt].sum;

    ll s=0;

    if(l<=t[ls].r) s+=search(l,r,ls);

    if(r>=t[rs].l) s+=search(l,r,rs);

    return s;

}

int n,m,opt,x,y;

int main(){

    scanf("%d",&n);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&input[i]);

    build(1,n,1);

    scanf("%d",&m);

    while(m--){

        scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);

	if(x>y) x^=y^=x^=y;

	if(opt==0) xSqrt(x,y,1);

	else printf("%lld\n",search(x,y,1));

    }

}

The End

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