「2020-2021 集训队作业」Yet Another Linear Algebra Problem（行列式，Binet-Cauchy 公式）

题面

出题人：T

L

Y

\tt TLY

TLY 太阳神：Tiw_Air_OAO

---

「

2020

—

2021

集

训

队

作

业

」

Y

e

t

A

n

o

t

h

e

r

L

i

n

e

a

r

A

l

g

e

b

r

a

P

r

o

b

l

e

m

传

统

1000
 

m

s

512
 

M

i

B

{\tt「2020—2021~集训队作业」Yet~Another~Linear~Algebra~Problem}\\\\ {\tt_{传统~~~~~1000\,ms~~~~~512\,MiB}}

「2020—2021 集训队作业」Yet Another Linear Algebra Problem传统     1000ms     512MiB​

题目描述

您需要解决两个独立（但类似）的子问题：

问题一：给定

n

n

n 个在

G

F

(

3

)

GF(3)

GF(3)（数字都模

3

3

3）上的

m

m

m 维向量，记它们张成的线性空间为

V

V

V。求从

n

n

n 个向量中选出一组向量，使得它们是

V

V

V 的基的方案数。对

3

3

3 取模。

问题二：给定

n

n

n 个在

G

F

(

2

)

GF(2)

GF(2) 上的

m

m

m 维向量，记它们张成的线性空间为

V

V

V。其中第

i

i

i 个向量有颜色

c

i

c_i

ci​。求从每种颜色中恰好选出一个向量，使得它们是

V

V

V 的基的方案数。对

2

2

2 取模。

注：为了凸显主要矛盾而忽略次要矛盾，保证

V

V

V 的维数为

m

m

m。

输入格式

第一行包含一个正整数

t

a

s

k

i

d

taskid

taskid，表示需要解决的问题编号。

第二行包含两个正整数

n

,

m

n,m

n,m，含义见上。

接下来输入

n

n

n 行：

如果

t

a

s

k

i

d

=

1

taskid=1

taskid=1，则第

i

i

i 行包含

m

m

m 个非负整数

v

i

,

1

,

v

i

,

2

,

…

,

v

i

,

m

v_{i,1},v_{i,2},\ldots,v_{i,m}

vi,1​,vi,2​,…,vi,m​，描述了第

i

i

i 个向量。

如果

t

a

s

k

i

d

=

2

taskid=2

taskid=2，则第

i

i

i 行包含

m

+

1

m+1

m+1 个非负整数

v

i

,

1

,

v

i

,

2

,

…

,

v

i

,

m

,

c

i

v_{i,1},v_{i,2},\ldots,v_{i,m},c_i

vi,1​,vi,2​,…,vi,m​,ci​，描述了第

i

i

i 个向量与它的颜色。

输出格式

输出一行一个正整数表示答案。

样例 1

输入

1
3 2
0 1
1 2
1 1

输出

0

样例 2

输入

1
4 3
1 1 0
1 2 0
1 2 2
1 1 1

输出

1

样例 3

输入

1
5 3
1 1 0
0 1 2
0 2 0
2 0 2
2 2 2

输出

2

样例 4

输入

2
3 2
0 1 1
0 0 2
1 1 1

输出

0

样例 5

输入

2
4 2
1 1 1
0 0 1
1 0 2
0 0 2

输出

1

数据范围与提示

对于

100

%

100\%

100% 的数据，

t

a

s

k

i

d

∈

{

1

,

2

}

,

1

≤

n

,

m

≤

500

taskid\in\{1,2\},1\leq n,m\leq500

taskid∈{1,2},1≤n,m≤500。

当

t

a

s

k

i

d

=

1

taskid=1

taskid=1 时，则

v

i

,

j

∈

{

0

,

1

,

2

}

v_{i,j}\in\{0,1,2\}

vi,j​∈{0,1,2}。

当

t

a

s

k

i

d

=

2

taskid=2

taskid=2 时，则

v

i

,

j

∈

{

0

,

1

}

,

c

i

∈

[

1

,

m

]

v_{i,j}\in\{0,1\},c_i\in[1,m]

vi,j​∈{0,1},ci​∈[1,m]。

s

u

b

t

a

s

k

1

(

50

p

t

s

)

:

t

a

s

k

i

d

=

1

{\rm subtask~1(50~pts)}:taskid=1

subtask 1(50 pts):taskid=1。

s

u

b

t

a

s

k

2

(

50

p

t

s

)

:

t

a

s

k

i

d

=

2

{\rm subtask~2(50~pts)}:taskid=2

subtask 2(50 pts):taskid=2。

L

i

b

r

e

O

J

P

o

w

e

r

e

d

b

y

S

Y

Z

O

J

N

G

_{{\rm LibreOJ}~{\tt Powered~by}~{\rm SYZOJ~NG}}

LibreOJ Powered by SYZOJ NG​

---

题解

用到的知识很多。

首先，我们知道一个

n

×

n

n\times n

n×n 的矩阵是满秩的，等价于它的行列式非

0

0

0 ，那么选

m

m

m 个向量，是否能成为

V

V

V 的一组基底，就取决于它们拼成的

m

×

m

m\times m

m×m 矩阵是否行列式非

0

0

0 。

---

对于

s

u

b

t

a

s

k

1

\rm subtask~1

subtask 1 ，我们可以把答案表示为：

∑

1

≤

i

1

<

i

2

<

.

.

.

<

i

m

≤

n

[

∣

—

v

i

1

→

—

—

v

i

2

→

—

⋮

—

v

i

m

→

—

∣

≢

0

]

m

o

d

  

3

\sum_{1\leq i_1<i_2<...<i_m\leq n} \left[~\left|\begin{matrix} —\overset{\rightarrow}{v_{i_1}}—\\ —\overset{\rightarrow}{v_{i_2}}—\\ \vdots\\ —\overset{\rightarrow}{v_{i_m}}—\\ \end{matrix}\right|\not\equiv0~\right]\mod 3

1≤i1​<i2​<...<im​≤n∑​⎣⎢⎢⎢⎢⎡​ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​—vi1​​→​——vi2​​→​—⋮—vim​​→​—​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​​≡0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤​mod3

中间那个条件符号不好处理啊！但是我们知道

1

2

,

2

2

1^2,2^2

12,22 在模

3

3

3 意义下都是等于

1

1

1 的，也就是说，把行列式平方，刚好同余于该条件表达式！那么我们就平方试试，顺便把其中一个行列式矩阵转置一下：

∑

1

≤

i

1

<

i

2

<

.

.

.

<

i

m

≤

n

∣

∣

∣

∣

∣

v

i

1

→

v

i

2

→

…

v

i

m

→

∣

∣

∣

∣

∣

⋅

∣

—

v

i

1

→

—

—

v

i

2

→

—

⋮

—

v

i

m

→

—

∣

m

o

d

  

3

\sum_{1\leq i_1<i_2<...<i_m\leq n} \left|\begin{matrix} |&|&|&|\\ \overset{\rightarrow}{v_{i_1}}&\overset{\rightarrow}{v_{i_2}}&\dots&\overset{\rightarrow}{v_{i_m}}\\ |&|&|&|\\ \end{matrix}\right| \cdot \left|\begin{matrix} —\overset{\rightarrow}{v_{i_1}}—\\ —\overset{\rightarrow}{v_{i_2}}—\\ \vdots\\ —\overset{\rightarrow}{v_{i_m}}—\\ \end{matrix}\right| \mod 3

1≤i1​<i2​<...<im​≤n∑​∣∣∣∣∣∣​∣vi1​​→​∣​∣vi2​​→​∣​∣…∣​∣vim​​→​∣​∣∣∣∣∣∣​⋅∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​—vi1​​→​——vi2​​→​—⋮—vim​​→​—​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​mod3

再运用 B

i

n

e

t

_

C

a

u

c

h

y

\tt Binet\_Cauchy

Binet_Cauchy 公式，可以知道上式就等于

det

⁡

(

(

∣

∣

∣

∣

v

1

→

v

2

→

…

v

n

→

∣

∣

∣

∣

)

⋅

(

—

v

1

→

—

—

v

2

→

—

⋮

—

v

n

→

—

)

)

\det\left(\left(\begin{matrix} |&|&|&|\\ \overset{\rightarrow}{v_{1}}&\overset{\rightarrow}{v_{2}}&\dots&\overset{\rightarrow}{v_{n}}\\ |&|&|&|\\ \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} —\overset{\rightarrow}{v_{1}}—\\ —\overset{\rightarrow}{v_{2}}—\\ \vdots\\ —\overset{\rightarrow}{v_{n}}—\\ \end{matrix}\right)\right)

det⎝⎜⎜⎜⎜⎛​⎝⎛​∣v1​→​∣​∣v2​→​∣​∣…∣​∣vn​→​∣​⎠⎞​⋅⎝⎜⎜⎜⎜⎛​—v1​→​——v2​→​—⋮—vn​→​—​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​

因此求这个行列式就行了。

---

对于

s

u

b

t

a

s

k

2

\rm subtask~2

subtask 2 ，在模

2

2

2 意义下，并没有变得更简单，而是多加了颜色条件。我们可以这样翻译这个条件：所选的

m

m

m 个向量的颜色必须互不相同，每种颜色都要有向量。

这让我们又想到了一个关于行列式的性质：若行列式的某一行或某一列全为

0

0

0，那么行列式为

0

0

0 。

因此，我们可以用一个矩阵

A

A

A 表示颜色，

A

i

,

j

A_{i,j}

Ai,j​ 定义为向量

i

i

i 的颜色是(

1

1

1)否(

0

0

0)为

j

j

j 。每种颜色都要有向量，也就等价于

A

A

A 中对应的

m

×

m

m\times m

m×m 的子矩阵每行每列都有恰好一个

1

1

1 ，行列式不为

0

0

0 。

由于是取模

2

2

2 ，向量组成的行列式本身就等价于不等于

0

0

0 的条件表达式，可以不用平方。我们就把

A

A

A 的行列式乘过来表示答案：

∑

1

≤

i

1

<

i

2

<

.

.

.

<

i

m

≤

n

∣

∣

∣

∣

∣

v

i

1

→

v

i

2

→

…

v

i

m

→

∣

∣

∣

∣

∣

⋅

∣

A

i

1

,

1

A

i

1

,

2

…

A

i

1

,

m

A

i

2

,

1

A

i

2

,

2

…

A

i

2

,

m

⋮

⋮

⋱

⋮

A

i

m

,

1

A

i

m

,

2

…

A

i

m

,

m

∣

m

o

d

  

2

\sum_{1\leq i_1<i_2<...<i_m\leq n} \left|\begin{matrix} |&|&|&|\\ \overset{\rightarrow}{v_{i_1}}&\overset{\rightarrow}{v_{i_2}}&\dots&\overset{\rightarrow}{v_{i_m}}\\ |&|&|&|\\ \end{matrix}\right| \cdot \left|\begin{matrix} A_{i_1,1}&A_{i_1,2}&\dots&A_{i_1,m}\\ A_{i_2,1}&A_{i_2,2}&\dots&A_{i_2,m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{i_m,1}&A_{i_m,2}&\dots&A_{i_m,m}\\ \end{matrix}\right| \mod 2

1≤i1​<i2​<...<im​≤n∑​∣∣∣∣∣∣​∣vi1​​→​∣​∣vi2​​→​∣​∣…∣​∣vim​​→​∣​∣∣∣∣∣∣​⋅∣∣∣∣∣∣∣∣∣​Ai1​,1​Ai2​,1​⋮Aim​,1​​Ai1​,2​Ai2​,2​⋮Aim​,2​​……⋱…​Ai1​,m​Ai2​,m​⋮Aim​,m​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​mod2

又可以使用

B

i

n

e

t

_

C

a

u

c

h

y

\tt Binet\_Cauchy

Binet_Cauchy 公式了，把它变为

det

⁡

(

(

∣

∣

∣

∣

v

1

→

v

2

→

…

v

n

→

∣

∣

∣

∣

)

⋅

A

)

\det\left(\left(\begin{matrix} |&|&|&|\\ \overset{\rightarrow}{v_{1}}&\overset{\rightarrow}{v_{2}}&\dots&\overset{\rightarrow}{v_{n}}\\ |&|&|&|\\ \end{matrix}\right) \cdot A\right)

det⎝⎛​⎝⎛​∣v1​→​∣​∣v2​→​∣​∣…∣​∣vn​→​∣​⎠⎞​⋅A⎠⎞​

直接求行列式。

复杂度都是

O

(

n

3

)

O(n^3)

O(n3) 。

CODE

代

码

并

不

一

定

是

博

客

终

结

的

地

方

^{_{代码并不一定是博客终结的地方}}

代码并不一定是博客终结的地方​

#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 505
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
int MOD = 1;
struct mat{
	int n,m;
	int s[500][500];
	mat(){n=m=0;memset(s,0,sizeof(s));}
	inline void set(int N,int M) {n=N;m=M;}
}X,A;
inline mat operator * (mat a,mat b) {
	mat c;c.set(a.n,b.m);
	for(int i = 0;i < a.n;i ++) {
		for(int k = 0;k < a.m;k ++) {
			if(a.s[i][k])
			for(int j = 0;j < b.m;j ++) {
				c.s[i][j] += a.s[i][k]*b.s[k][j];
			}
		}
	}
	for(int i = 0;i < c.n;i ++) {
		for(int j = 0;j < c.m;j ++) c.s[i][j] %= MOD;
	}return c;
}
mat T_mat(mat a) {
	for(int i = 0;i < a.n;i ++) {
		for(int j = i;j < a.m;j ++) {
			swap(a.s[i][j],a.s[j][i]);
		}
	}
	swap(a.n,a.m); return a;
}
int det(mat a) {
	if(a.n != a.m) return 0;
	int as = 1;
	for(int i = 0;i < a.n;i ++) {
		if(!(a.s[i][i]%MOD))
		for(int j = i;j < a.n;j ++) {
			if(a.s[j][i]%MOD) {swap(a.s[i],a.s[j]);as = MOD-as;break;}
		}
		if(!(a.s[i][i]%MOD)) return 0;
		for(int j = i+1;j < a.n;j ++) {
			if(a.s[j][i]%MOD) {
				for(int k = a.m-1;k >= i;k --) {
					(a.s[j][k] += MOD-a.s[i][k]*a.s[i][i]*a.s[j][i]%MOD) %= MOD;
				}
			}
		}
	}
	for(int i = 0;i < a.n;i ++) as = as * a.s[i][i] % MOD;
	return (as+MOD)%MOD;
}
int main() {
	int op = read();
	MOD = 4-op;
	n = read(); m = read();
	X.set(m,n);
	A.set(n,m);
	for(int i = 0;i < n;i ++) {
		for(int j = 0;j < m;j ++) {
			X.s[j][i] = read()%MOD;
		}
		if(op == 2) A.s[i][read()-1] = 1;
	}
	printf("%d\n",op == 1 ? det(X * T_mat(X)) : det(X * A));
	return 0;
}

后记

这道题好像是行列式和

B

i

n

e

t

_

C

a

u

c

h

y

\tt Binet\_Cauchy

Binet_Cauchy 公式的板题？

不论如何，给诸队爷出这种题，

T

L

Y

\tt TLY

TLY 太阳神 也算仁慈了。

这个公式不是很常见，但是却又的确在

N

O

I

\tt NOI

NOI 大纲里。这样的知识也能掌握，祂必定是把行列式学透了的！不论学什么都深入学透，这就是我们和真正天才们的区别。

也是凡人和神的区别。