3771: Triple

3771: Triple

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题意

　　n个斧头，每个斧头的价值都不同(开始时没注意到)，可以取1个，2个，3个斧头组成不同的价值，求每种价值有多少种组成方案（顺序不同算一种）

分析：

　　生成函数 + 容斥原理 + FFT。

　　首先对于只取一个的话，那么生成函数就是$A = (x^0 + x^{w_1} + x^{w_2} + x^{w_3}+...+x^{w_n})$（指数为价值，系数为方案数）

　　那么朴素的求解就是$ans = A+A^2+A^3$

　　但是顺序不同算一种，所以每一项都除以n!，$ans = \frac{A}{1!}+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}$。例如题面中的(a,b)和(b,a)是一样的。

　　但是这还有一个问题，每把斧头只能拿一次。所以需要减去拿了多次的情况。构造两个分别为一个斧头拿两次，一个斧头拿三次的生成函数，$B = (x^0 + x^{2w_1} + x^{2w_2}+x^{2w_3}+...+x^{2w_n})$ ，$C = (x^0 + x^{3w_1} + x^{3w_2}+x^{3w_3}+...+x^{3w_n})$。

　　考虑拿两把斧头的方案，减去一把斧头拿了两次的情况，即$\frac{A^2-B}{2}$。

　　再考虑拿三把斧头的方案，首先减去一个斧头至少拿两次的方案$A∗B$，一个斧头拿两次的方案是会在被统计到三次，形如$(y,x,x),(x,y,x),(x,x,y)$，所以应该减去三次。一个斧头拿了两次的方案 包含了 拿了三次的方案，对于拿三次的方案，只会统计到一次，形如$(x,x,x)$，只减去一次就好了，所以在原式中再加回来两次，即$\frac{A^3-3*A*B+2*C}{3!}$。

　　所以最后$ans=A+\frac{A^2-B}{2}+\frac{A^3-3*A*B+2*C}{6}$。

　　参考博客https://www.zgz233.xyz/2017/08/06/bzoj-3771-triple/

代码：

　

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<cctype>

 using namespace std;

 const int N = ;
 const double Pi = acos(-1.0);

 struct Complex {
     double x, y;
     Complex() {}
     Complex(double _x,double _y) {x = _x, y = _y;}
 }A[N],B[N],C[N],ans[N];

 Complex operator + (Complex a, Complex b) {
     return Complex(a.x + b.x, a.y + b.y);
 }
 Complex operator - (Complex a, Complex b) {
     return Complex(a.x - b.x, a.y - b.y);
 }
 Complex operator * (Complex a, Complex b) {
     return Complex(a.x * b.x - a.y * b.y, a.x * b.y + a.y * b.x);
 }

 void FFT(Complex *a,int n,int ty) {
     for (int i=,j=; i<n; ++i) {
         if (i < j) swap(a[i],a[j]);
         for (int k=n>>; (j^=k)<k; k>>=);
     }
     for (int m=; m<=n; m<<=) {
         Complex w1 = Complex(cos(*Pi/m),ty*sin(*Pi/m));
         for (int i=; i<n; i+=m) {
             Complex w = Complex(,);
             for (int k=; k<(m>>); ++k) {
                 Complex t = w * a[i+k+(m>>)];
                 Complex u = a[i+k];
                 a[i+k] = u + t;
                 a[i+k+(m>>)] = u - t;
                 w = w * w1;
             }
         }
     }
 }

 int main() {
     int m,mx = ,n = ;
     scanf("%d",&m);
     for (int x,i=; i<=m; ++i) {
         scanf("%d",&x);
         A[x] = Complex(,);
         B[x * ] = Complex(,);
         C[x * ] = Complex(,);
         if (x *  > mx) mx = x * ;
     }
     while (n < mx) n <<= ;

     FFT(A,n,);
     FFT(B,n,);
     FFT(C,n,);

     Complex c2 = Complex(,),c3 = Complex(,),c6 = Complex(,);
     Complex t1 = Complex(1.0/2.0,),t2 = Complex(1.0/6.0,);

     for (int i=; i<n; ++i)
         ans[i] = A[i] +
                 (A[i] * A[i] - B[i]) * t1 +
                 (A[i] * A[i] * A[i] - (A[i] * B[i]) * c3 + C[i] * c2) * t2;

     FFT(ans,n,-);

     for (int i=; i<n; ++i) {
         int Ans = (int)(ans[i].x / n + 0.5);
         if (Ans) printf("%d %d\n",i,Ans);
     }

     return ;
 }