NOI2008 志愿者招募

1061: [Noi2008]志愿者招募

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Description

申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2

Sample Output

14

HINT

招募第一类志愿者3名，第三类志愿者4名 30%的数据中，1 ≤ N, M ≤ 10，1 ≤ Ai ≤ 10； 100%的数据中，1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。

Source

题解：BYVOID

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这道题正确的解法是构造网络，求网络最小费用最大流，但是模型隐藏得较深，不易想到。构造网络是该题的关键，以下面一个例子说明构图的方法和解释。

例如一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示：

种类	1	2	3	4	5
时间	1-2	1-1	2-3	3-3	3-4
费用	3	4	3	5	6

设雇佣第i类志愿者的人数为X[i]，每个志愿者的费用为V[i]，第j天雇佣的人数为P[j]，则每天的雇佣人数应满足一个不等式，如上表所述，可以列出

P[1] = X[1] + X[2] >= 4

P[2] = X[1] + X[3] >= 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5

P[4] = X[5] >= 3

对于第i个不等式，添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ，可以使其变为等式

P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5

P[4] = X[5] - Y[4] = 3

在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0，每次用下边的式子减去上边的式子，得出

① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2

③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3

④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2

⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3

观察发现，每个变量都在两个式子中出现了，而且一次为正，一次为负。所有等式右边和为0。接下来，根据上面五个等式构图。

• 每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。

• 如果一个等式右边为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果一个等式右边为负整数c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。

• 如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i]，在第k个等式中出现为-X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为V[i]的有向边。

• 如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i]，在第k个等式中出现为-Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为0的有向边。

构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。

根据上面的例子可以构造出如下网络，红色的边为每个变量X代表的边，蓝色的边为每个变量Y代表的边，边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记，因为都是容量∞，权值0)。

在这个图中求最小费用最大流，流量网络如下图，每个红色边的流量就是对应的变量X的值。

所以，答案为43+23+3*6=36。

上面的方法很神奇得求出了结果，思考为什么这样构图。我们将最后的五个等式进一步变形，得出以下结果

① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0

② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0

③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0

④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0

⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0

可以发现，每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减，右边都为0，恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的流量，负的变量相当于流出该顶点的流量，而正常数可以看作来自附加源点的流量，负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络，求出从附加源到附加汇的网络最大流，即可满足所有等式。而我们还要求最小，所以要在X变量相对应的边上加上权值，然后求最小费用最大流。

我写的是朴素的SPFA算法求增广路的最小费用流算法，可以在题目时限内通过所有测试点。

在NOI的现场上，该题得分的平均分12.56，只有高逸涵大牛拿到了满分。不能不说这是一道难题，难就难在抽象出问题的数学模型，设计有效的算法。而信息学竞赛正朝着这个方向发展，数学建模将是解决问题的共同关键步骤。

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还有更直接的建图方法：

S到1~N连一条容量a[i]费用0；
2~N+1到T连一条容量a[i-1]费用0；
i-1到i连一条容量inf费用0；
对于每个志愿者sj到tj+1连一条容量为inf费用为w[j]

代码：

 const inf=maxlongint;
 type node=record
      from,go,next,v,c:longint;
      end;
 var e:array[..] of node;
     pre,head,q,d,p:array[..] of longint;
     v:array[..] of boolean;
     i,j,n,m,s,t,l,r,mincost,tot,x,y,z:longint;
     function min(x,y:Longint):longint;
      begin
      if x<y then exit(x) else exit(y);
      end;

 procedure ins(x,y,z,w:longint);
  begin
  inc(tot);
  with e[tot] do
   begin
   from:=x;go:=y;v:=z;c:=w;next:=head[x];head[x]:=tot;
   end;
  end;
 procedure insert(x,y,z,w:longint);
  begin
  ins(x,y,z,w);ins(y,x,,-w);
  end;
 function spfa:boolean;
  var i,x,y:longint;
  begin
  fillchar(v,sizeof(v),false);
  for i:=s to t do d[i]:=inf;
  l:=;r:=;q[]:=s;d[s]:=;v[s]:=true;
  while l<r do
   begin
   inc(l);
   x:=q[l];v[x]:=false;
   i:=head[x];
   while i<> do
    begin
    y:=e[i].go;
    if (e[i].v<>) and (d[x]+e[i].c<d[y]) then
     begin
     d[y]:=d[x]+e[i].c;
     pre[y]:=i;
     if not(v[y]) then
      begin
      v[y]:=true;
      inc(r);
      q[r]:=y;
      end;
     end;
    i:=e[i].next;
   end;
  end;
  exit(d[t]<>inf);
  end;
 procedure mcf;
  var i,tmp:longint;
  begin
  mincost:=;
  while spfa do
   begin
   tmp:=inf;
   i:=pre[t];
   while i<> do
    begin
    tmp:=min(tmp,e[i].v);
    i:=pre[e[i].from];
    end;
   inc(mincost,tmp*d[t]);
   i:=pre[t];
   while i<> do
    begin
    dec(e[i].v,tmp);
    inc(e[i xor ].v,tmp);
    i:=pre[e[i].from];
    end;
   end;
  end;
 procedure init;
  begin
  tot:=;
  readln(n,m); s:=;t:=n+;
  for i:= to n do read(p[i]);
  for i:= to n+ do
   begin
   if i> then insert(i,i-,inf,);
   if p[i]>=p[i-] then insert(s,i,p[i]-p[i-],)
   else insert(i,t,p[i-]-p[i],);
   end;
  for i:= to m do
   begin
   readln(x,y,z);
   insert(x,y+,inf,z);
   end;
  end;
 procedure main;
  begin
  mincost:=;
  mcf;
  writeln(mincost);
  end;
 begin
  assign(input,'input.txt');assign(output,'output.txt');
  reset(input);rewrite(output);
  init;
  main;
  close(input);close(output);
 end.