BZOJ 4009 接水果

Description

风见幽香非常喜欢玩一个叫做osu!的游戏，其中她最喜欢玩的模式就是接水果。

由于她已经DT FC了The big black, 她觉得这个游戏太简单了，于是发明了一个更加难的版本。首先有一个地图，是一棵由\(n\)个顶点、\(n-1\)条边组成的树。这颗树上有\(P\)个盘子，每个盘子实际上是一条路径，并且每个盘子还有一个权值。第\(i\)个盘子就是顶点\(a_{i}\)到顶点\(b_{i}\)的路径(由于是树，所以从\(a_{i}\)到\(b_{i}\)的路径是唯一的)，权值为\(c_{i}\)。接下来依次会有\(Q\)个水果掉下来，每个水果本质上也是一条路径，第\(i\)个水果是从顶点\(u_{i}\)到顶点\(v_{i}\)的路径。幽香每次需要选择一个盘子去接当前的水果：一个盘子能接住一个水果，当且仅当盘子的路径是水果的路径的子路径。这里规定:从\(a\)到\(b\)的路径与从\(b\)到\(a\)的路径是同一条路径。当然为了提高难度，对于第\(i\)个水果，你需要选择能接住它的所有盘子中，权值第\(k_{i}\)小的那个盘子，每个盘子可重复使用（没有使用次数的上限：一个盘子接完一个水果后，后面还可继续接其他水果，只要它是水果路径的子路径）。幽香认为这个游戏很难，你能轻松解决给她看吗？

Input

第一行三个数\(n,P\)和\(Q\)，表示树的大小和盘子的个数和水果的个数。

接下来\(n-1\)行，每行两个数\(a,b\)，表示树上的\(a\)和\(b\) 之间有一条边。树中顶点按\(1\)到\(n\)标号。接下来\(P\)行，每行三个数\(a,b,c\)，表示路径为\(a\)到\(b\)、权值为\(c\)的盘子，其中\(0 \le c \le 10^{9},a \neq b\)。

接下来\(Q\)行，每行三个数\(u,v,k\)，表示路径为\(u\)到\(v\)的水果，其中\(u \neq v\)，你需要选择第\(k\)小的盘子，第\(k\)小一定存在。

Output

对于每个果子，输出一行表示选择的盘子的权值。

Sample Input

10 10 10

1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

8 9

9 10

3 2 217394434

10 7 13022269

6 7 283254485

6 8 333042360

4 6 442139372

8 3 225045590

10 4 922205209

10 8 808296330

9 2 486331361

4 9 551176338

1 8 5

3 8 3

3 8 4

1 8 3

4 8 1

2 3 1

2 3 1

2 3 1

2 4 1

1 4 1

Sample Output

442139372

333042360

442139372

283254485

283254485

217394434

217394434

217394434

217394434

217394434

Hint

\(N,P,Q \le 40000\)。

整体二分。对于区间\(l \sim r\)，二分值域\(mid\)，将\(\le mid\)的盘子加入，每个水果的\(k\)与其路径上存在的盘子数进行比较，若多了该询问往左区间\(l \sim mid\)递归，否则往右区间\(mid+1 \sim r\)递归。

现在的问题就是如何判定每个水果的\(k\)与其路径上存在的盘子数的大小关系。考虑每个盘子，覆盖的路径为\(a_{i}\)到\(b_{i}\)（\(dep_{a_{i}} < dep_{b_{i}}\)），那么这个盘子所贡献的水果只有可能两种情况：

\(1.b_{i}\)在\(a_{i}\)的子树内，那么水果的两个端点\(u,v\)必须一个\(b_{i}\)的子树内，一个在\(a_{i}\)的子树外（可以包括\(a_{i}\)）。

\(2.\)否则，两个点必须一个在\(a_{i}\)的子树内，一个在\(b_{i}\)的子树内。

看到有子树的东西，马上想到dfs序。由于这个dfs序是一段连续的区间，所以我们可以将盘子根据dfs序抽象成为矩形（情况一上两个不相交的矩形，情况二是一个矩形），将水果抽象成为一个点，每次检验即询问点被多少矩形所覆盖。扫描线+树状数组即可解决。

注意：矩形必须保证\(x\)坐标小于\(y\)坐标。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

#define maxn (40010)
int N,P,Q,side[maxn],next[maxn*2],toit[maxn*2],dep[maxn],tree[maxn];
int L[maxn],R[maxn],ans[maxn],f[maxn][20],Ts,cnt,tot,have[maxn],sum[maxn];
struct SCAN
{
	int X,Y1,Y2,sign,be;
	friend inline bool operator <(const SCAN &a,const SCAN &b) { return a.X != b.X?a.X < b.X:a.sign<b.sign; }
}bac[8*maxn],save[maxn][4];

inline int jump(int a,int step)
{
	for (int i = 0;step;step >>= 1,++i) if (step&1) a = f[a][i];
	return a;
}

inline int lowbit(int a) { return a&-a; }
inline void modify(int a,int b) { for (;a <= N;a += lowbit(a)) tree[a] += b; }
inline int calc(int a) { int ret = 0; for (;a;a -= lowbit(a)) ret += tree[a]; return ret; }

struct NODE
{
	int a,b,c,id;
	friend inline bool operator <(const NODE &x,const NODE &y) { return x.c < y.c; }
	inline void read(int i) { scanf("%d %d %d",&a,&b,&c); id = i; }
	inline void update() { if (L[a] > L[b]) swap(a,b); }
	inline void ins1() { bac[++tot] = (SCAN){L[a],L[b],L[b],0,id}; }
	inline void ins2() { for (int i = 0;i < have[id];++i) bac[++tot] = save[id][i]; }
	inline void change()
	{
		if (L[b] >= L[a]&&L[b] <= R[a])
		{
			int son = jump(b,dep[b]-dep[a]-1);
			if (L[son] > 1)
			{
				save[id][have[id]++] = (SCAN){1,L[b],R[b],-1,id};
				save[id][have[id]++] = (SCAN){L[son]-1,L[b],R[b],1,id};
			}
			if (R[son] < N)
			{
				save[id][have[id]++] = (SCAN){L[b],R[son]+1,N,-1,id};
				save[id][have[id]++] = (SCAN){R[b],R[son]+1,N,1,id};
			}
		}
		else
		{
			save[id][have[id]++] = (SCAN){L[a],L[b],R[b],-1,id};
			save[id][have[id]++] = (SCAN){R[a],L[b],R[b],1,id};
		}
	}
}path[maxn],query[maxn],tmp[maxn];

inline void add(int a,int b) { next[++cnt] = side[a]; side[a] = cnt; toit[cnt] = b; }
inline void ins(int a,int b) { add(a,b); add(b,a); }

inline void dfs(int now)
{
	L[now] = ++Ts;
	for (int i = 1;(1 << i) <= dep[now];++i) f[now][i] = f[f[now][i-1]][i-1];
	for (int i = side[now];i;i = next[i])
		if (toit[i] != f[now][0])
			f[toit[i]][0] = now,dep[toit[i]] = dep[now]+1,dfs(toit[i]);
	R[now] = Ts;
}

inline void census(int ql,int qr,int pl,int pr,int &ll,int &rr)
{
	tot = 0;
	for (int i = pl;i <= pr;++i) path[i].ins2();
	for (int i = ql;i <= qr;++i) query[i].ins1();
	sort(bac+1,bac+tot+1);
	for (int i = 1;i <= tot;++i)
	{
		if (!bac[i].sign) sum[bac[i].be] = calc(bac[i].Y1);
		else modify(bac[i].Y1,-bac[i].sign),modify(bac[i].Y2+1,bac[i].sign);
	}
	for (int i = ql;i <= qr;++i)
	{
		if (sum[query[i].id] >= query[i].c) tmp[++ll] = query[i];
		else query[i].c -= sum[query[i].id],tmp[--rr] = query[i];
		sum[query[i].id] = 0;
	}
	for (int i = ql;i <= qr;++i) query[i] = tmp[i];
	for (int i = 1;i <= tot;++i)
		if (bac[i].sign) modify(bac[i].Y1,bac[i].sign),modify(bac[i].Y2+1,-bac[i].sign);
}

inline void work(int ql,int qr,int pl,int pr)
{
	if (ql > qr) return;
	if (pl == pr)
	{
		for (int i = ql;i <= qr;++i) ans[query[i].id] = path[pl].c;
		return;
	}
	int ll = ql-1,rr = qr+1,mid = (pl + pr)>>1;
	census(ql,qr,pl,mid,ll,rr);
	work(ql,ll,pl,mid); work(rr,qr,mid+1,pr);
}

int main()
{
	freopen("fruit.in","r",stdin);
	freopen("fruit.out","w",stdout);
	scanf("%d %d %d",&N,&P,&Q);
	for (int i = 1,a,b;i < N;++i) scanf("%d %d",&a,&b),ins(a,b);
	dfs(1);
	for (int i = 1;i <= P;++i) path[i].read(i),path[i].update(),path[i].change();
	sort(path+1,path+P+1);
	for (int i = 1;i <= Q;++i) query[i].read(i),query[i].update();
	work(1,Q,1,P);
	for (int i = 1;i <= Q;++i) printf("%d\n",ans[i]);
	fclose(stdin); fclose(stdout);
	return 0;
}