旅游公司租车问题 —— 动态规划 v.s. + Leapms线性规划

有一个旅游公司承包一条旅游线路，未来四周内的大巴车需求分别是：4辆、1辆、4辆和5辆。该公司向租车公司租赁服务，租车公司的计价方案是：租车收取一次性手续费3000，每车每周费用2000。求最节省租车方案。

---

线性规划方法

参数定义：

d[k]: 第k周的需求车数；

s[k]: 第k周周初库存车辆数量；

x[k]: 第k周周初租车数量；

y[k]第k周周初还车数量。

目标

数学式：

$\min \sum_{k=1}^{n}(3000x_k+2000(x_k+s_k-y_k))$

+Leapms形式:

min sum{k=1,...,n}(3000x[k]+2000(x[k]+s[k]-y[k]))

约束(+Leapms形式）：

s[k]+x[k]-y[k] ≥ d[k] | k=1,...,n                // 每周车辆需求约束
        s[k+1] =s[k] + x[k] - y[k] | k=1,...,n-1        //库存变化逻辑

数据：

n=4
         d={4 1 4 5}

---

完整+Leapms模型：

min sum{k=1,...,n}(5000x[k]+2000(s[k]-y[k]))
subject to
	x[k]+s[k]-y[k]>=d[k]| k=1,...,n
	s[k+1]=x[k]+s[k]-y[k]| k=1,...,n-1
	s[1]=0
where
	n is a number
	d is a set
	x[k],s[k],y[k] are variables of nonnegative numbers -->
		|k=1,...,n
data
	n=4
	d={4 1 4 5} 

---

 直接求解

在 +Leapms 中使用 load 和 mip 命令求解。

Welcome to +Leapms ver 1.1(162260) Teaching Version  -- an LP/LMIP modeling and
solving tool.欢迎使用利珀 版本1.1(162260) Teaching Version  -- LP/LMIP 建模和求
解工具.

+Leapms>load
 Current directory is "ROOT".
 .........
        tour_bus.leap
 .........
please input the filename:tour_bus.leap
================================================================
1:  min sum{k=1,...,n}(5000x[k]+2000(s[k]-y[k]))
2:  subject to
3:      x[k]+s[k]-y[k]>=d[k]| k=1,...,n
4:      s[k+1]=x[k]+s[k]-y[k]| k=1,...,n-1
5:      s[1]=0
6:  where
7:      n is a number
8:      d is a set
9:      x[k],s[k],y[k] are variables of nonnegative numbers -->
10:             |k=1,...,n
11:  data
12:     n=4
13:     d={4 1 4 5}
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=12
number of constraints=8
..................................
+Leapms>mip
relexed_solution=49000; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整数规划的最优解.非零变量值和最优目标值如下：
  .........
    s2* =4
    s3* =4
    s4* =4
    x1* =4
    x4* =1
  .........
    Objective*=49000
  .........
+Leapms>

得到最优解： x₁*=4, x₄*=1, x₂*=x₃*=0, 目标函数值：49000。

CPLEX求解

在+Leapms环境中输入cplex命令，即可触发CPLEX求解器对问题进行求解。

+Leapms>cplex
  You must have licience for Ilo Cplex, otherwise you will violate
  corresponding copyrights, continue(Y/N)？
  你必须有Ilo Cplex软件的授权才能使用此功能，否则会侵犯相应版权，
  是否继续(Y/N)？y
+Leapms>

Tried aggregator 1 time.
LP Presolve eliminated 2 rows and 3 columns.
Aggregator did 1 substitutions.
Reduced LP has 5 rows, 8 columns, and 15 nonzeros.
Presolve time = 0.02 sec. (0.01 ticks)

Iteration log . . .
Iteration:     1   Dual infeasibility =          4000.000000
Iteration:     4   Dual objective     =         46000.000000
Solution status = Optimal
Solution value  = 49000
        s2=4
        s3=4
        s4=4
        x1=4
        x4=1

+Leapms - Latex数学概念模型

在+Leapms环境下，使用 “latex"命令可以把上面的+Leapms模型直接转换为如下Latex格式的数学概念模型

---

动态规划方法：

d_k: 第k周的需求车数；s_k : 第k周周初库存车辆数量；x_k: 第k周周初租车数量；y_k第k周周初还车数量。

递推方程：

f(s_k)=min{3000x_k+2000(s_k-y_k)+f(s_k+1)),    （1）

其中 s_k+1=s_k+x_k-y_k,                                   （2）

s_k+1≥d_k,                                             （3）

x_k≥0, y_k≥0。                                       （4）

<代数式求解非常繁琐> 。。。

图解法：

（1）根据题意，共四个阶段， 把状态取为阶段最后时刻的保有车数，每个周期的最大状态是5，最小是该阶段用车数量。画出阶段及状态：

（2）画出状态转移和决策含义：

（3）使用倒序法递推最优解：

（4） 得到最优解： x₁*=4, x₄*=1, x₂*=x₃*=0, 目标函数值：49000：

---