[CTSC2007]数据备份Backup （贪心）

题面

Description

你在一家 IT 公司为大型写字楼或办公楼（offices）的计算机数据做备份。然而数据备份的工作是枯燥乏味的，因此你想设计一个系统让不同的办公楼彼此之间互相备份，而你则坐在家中尽享计算机游戏的乐趣。已知办公楼都位于同一条街上。你决定给这些办公楼配对（两个一组）。每一对办公楼可以通过在这两个建筑物之间铺设网络电缆使得它们可以互相备份。然而，网络电缆的费用很高。当地电信公司仅能为你提供 K 条网络电缆，这意味着你仅能为 K 对办公楼（或总计2K个办公楼）安排备份。任一个办公楼都属于唯一的配对组（换句话说，这 2K 个办公楼一定是相异的）。此外，电信公司需按网络电缆的长度（公里数）收费。因而，你需要选择这 K 对办公楼使得电缆的总长度尽可能短。换句话说，你需要选择这 K 对办公楼，使得每一对办公楼之间的距离之和（总距离）尽可能小。下面给出一个示例，假定你有 5 个客户，其办公楼都在一条街上，如下图所示。这 5 个办公楼分别位于距离大街起点 1km, 3km, 4km, 6km 和 12km 处。电信公司仅为你提供 K=2 条电缆。

　　上例中最好的配对方案是将第 1 个和第 2 个办公楼相连，第 3 个和第 4 个办公楼相连。这样可按要求使用 K=2 条电缆。第 1 条电缆的长度是 3km-1km=2km ，第 2 条电缆的长度是 6km-4km=2km。这种配对方案需要总长 4km 的网络电缆，满足距离之和最小的要求。

Input

第一行包含整数 n 和 k
其中 n（2 ≤ n ≤ 100 000）表示办公楼的数目，k（1 ≤ k ≤ n/2）表示可利用的网络电缆的数目。
接下来的 n 行每行仅包含一个整数（0 ≤ s ≤ 1 000 000 000）,表示每个办公楼到大街起点处的距离。
这些整数将按照从小到大的顺序依次出现。

Output

输出应由一个正整数组成，给出将 2K 个相异的办公楼连成 k 对所需的网络电缆的最小总长度。

Sample Input

5 2
1
3
4
6
12

Sample Output

4

题解

首先，选的每一对楼肯定是相邻的两幢，所以，题意转化为在原数组的差分数组上选

k

k

k 个不相邻的数，使得总和最小。

然后，我发现它不能直接转化成拟阵，因为不满足交换性，也就是中间选的数会使得两边相邻的数不能被选。

于是我们用了一个类似反悔贪心的做法：

先找到差分数组中最小的一个，拿出来，设其为第

i

i

i 个数，那么接下来，可以证明

i

−

1

i-1

i−1 和

i

+

1

i+1

i+1 要么不选，要么同时选。反证法就行，若只选其中一个，同时

i

i

i 不能被选，这一定不如选

i

i

i 更优。

那么，

i

−

1

i-1

i−1 和

i

+

1

i+1

i+1 ——选

i

i

i 能影响到的所有位置——就是绑定在一起了，要么不选他们，保留

i

i

i ，选择的总数不变，要么选择它们，撤销掉

i

i

i ，选择的总数+1，同时影响

i

−

2

i-2

i−2 和

i

+

2

i+2

i+2 。

怎么看，我们都可以把

i

−

1

,

i

,

i

+

1

i-1,i,i+1

i−1,i,i+1 三个位置删掉，再在原位置插入一个

S

i

−

1

+

S

i

+

1

−

S

i

S_{i-1}+S_{i+1}-S_i

Si−1​+Si+1​−Si​ ，来转换这个复杂的过程。

最后就剩模拟了，

有自虐倾向精益求精 的人，可以打个平衡树模拟，讲效率 的人，可以打优先队列+链表。

CODE

我自诩精神正常

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define eps (1e-9)
#define SQ 447
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {
	if(!x) return ;
	putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
	if(!x) putchar('0');
	else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
	else putpos(x);
}
const int MOD = 1000000007;
int n,m,s,o,k;
LL a[MAXN];
struct it{
	int x;LL s;it(){x=s=0;}
	it(int X,LL S){x=X;s=S;}
};
bool operator < (it a,it b) {return a.s < b.s;}
bool operator > (it a,it b) {return b < a;}
priority_queue<it,vector<it>,greater<it> > b;
int nl[MAXN],nr[MAXN];
bool f[MAXN];
void del(int x) {
	int s = nl[x],o = nr[x];
	nr[s] = o; nl[o] = s;
	f[x] = 1; return ;
}
int main() {
	n = read(); k = read();
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		a[i] = read();
	}
	for(int i = 1;i < n;i ++) {
		a[i] = a[i+1]-a[i];
		nl[i] = i-1; nr[i] = i+1;
		b.push(it(i,a[i]));
	}
	a[0] = a[n] = 1e16;
	LL ans = 0;
	for(int i = 1;i <= k;i ++) {
		it t = b.top();b.pop();
		while(f[t.x]) t = b.top(),b.pop();
		ans += t.s;
		s = nl[t.x]; o = nr[t.x];
		a[t.x] = a[s] + a[o] - t.s;
		b.push(it(t.x,a[t.x]));
		del(s); del(o);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}