P7076 [CSP-S2020] 动物园

题面

动物园里饲养了很多动物，饲养员小 A 会根据饲养动物的情况，按照《饲养指南》购买不同种类的饲料，并将购买清单发给采购员小 B。

具体而言，动物世界里存在 \(2^k\) 种不同的动物，它们被编号为 \(0 \sim 2^k - 1\)。动物园里饲养了其中的 \(n\) 种，其中第 \(i\) 种动物的编号为 \(a_i\)。

《饲养指南》中共有 \(m\) 条要求，第 \(j\) 条要求形如“如果动物园中饲养着某种动物，满足其编号的二进制表示的第 \(p_j\) 位为 \(1\)，则必须购买第 \(q_j\) 种饲料”。其中饲料共有 \(c\) 种，它们从 \(1 \sim c\) 编号。本题中我们将动物编号的二进制表示视为一个 \(k\) 位 01 串，第 \(0\) 位是最低位，第 \(k - 1\) 位是最高位。

根据《饲养指南》，小 A 将会制定饲料清单交给小 B，由小 B 购买饲料。清单形如一个 \(c\) 位 \(01\) 串，第 \(i\) 位为 \(1\) 时，表示需要购买第 \(i\) 种饲料；第 \(i\) 位为 \(0\) 时，表示不需要购买第 \(i\) 种饲料。 实际上根据购买到的饲料，动物园可能可以饲养更多的动物。更具体地，如果将当前未被饲养的编号为 \(x\) 的动物加入动物园饲养后，饲料清单没有变化，那么我们认为动物园当前还能饲养编号为 \(x\) 的动物。

现在小 B 想请你帮忙算算，动物园目前还能饲养多少种动物。

• 对于 \(100 \%\) 的数据，\(0 \le n, m \le 10^6\)，\(0 \le k \le 64\)，\(1 \le c \le 10^8\)。

思路

其实这道题是CSP/S 2020送分题。

（可我却写挂了那么多次，实在是太弱了）

首先，这道题先考虑编号 \(a_i\)，如果两个元素 \(a_i,a_j\) 存在一个比特位相同，其实可以只算一次，因为重复的比特位是没有意义的（这道题），所以我们可以把它们或起来，就是总约束。

然后再考虑 \(p,q\)，其实 \(q\) 是没用的，如果二进制位 \(p\) 存在，就满足，否则不满足。

最后依照基本组合数学知识，对于每一个满足的二进制位，就将答案翻倍。

时间复杂度 \(O(n+m+k)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool check[1000005];
typedef unsigned long long int ull;
ull n,m,c,k;
ull v,ret=0;
ull ans=1;

signed main(){
    cin>>n>>m>>c>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v;
        ret|=v;
    }
    for(int i=0;i<k;i++){
        check[i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        ull p,q;
        cin>>p>>q;
        if(((1ull<<p)&ret)){
            check[p]=1;
        }
        else{
            check[p]=0;
        }
    }
    if((!n)&&(!m)&&(k==64)){
        cout<<"18446744073709551616";
        return 0;
    }
    for(int i=0;i<k;i++){
        if(check[i])ans=ans*2ll;
    }
    cout<<ans-n<<'\n';
    return 0;
}