BZOJ 3698 XWW的难题：有上下界的最大流

传送门

题意

给你一个 $ n*n $ 的正实数矩阵 $ A $ ，满足XWW性。

称一个 $ n*n $ 的矩阵满足XWW性当且仅当：

• $ A[n][n] = 0 $
• 矩阵中每行的最后一个元素等于该行前 $ n-1 $ 个数的和（除最后一行）
• 矩阵中每列的最后一个元素等于该列前 $ n-1 $ 个数的和（除最后一列）

现在你要给 $ A $ 中的数进行取整操作（可以是上取整或者下取整），使得最后的 $ A $ 矩阵仍然满足XWW性。

问你 $ A $ 中元素之和最大为多少。如果无解，输出"No"。

题解

考虑将每一行和每一列看做一个点。

首先从源点向每一行 $ R(i) $ 连一条上下界分别为 $ (\lfloor A[i][n] \rfloor, \lceil A[i][n] \rceil) $ 的边，从每一列 $ C(i) $ 向汇点连一条上下界分别为 $ (\lfloor A[n][i] \rfloor, \lceil A[n][i] \rceil) $ 的边。

然后对于每一个 $ A[i][j] $ 来说，连一条从 $ R(i) $ 到 $ C(i) $ 的上下界为 $ (\lfloor A[i][j] \rfloor, \lceil A[i][j] \rceil) $ 边。

这样就保证了最大流一定满足了后两个条件。

然后跑有上下界的有源汇最大流就好。

AC Code

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#define MAX_N 205
#define INF 1000000000
#define r(x) (x)
#define c(x) (n-1+(x))

using namespace std;

struct Edge
{
	int dst,cap,rev;
	Edge(int _dst,int _cap,int _rev) { dst=_dst,cap=_cap,rev=_rev; }
	Edge(){}
};

int n,s,t,S,T,tot,dif=0;
int a[MAX_N];
int it[MAX_N];
int lv[MAX_N];
double w[MAX_N][MAX_N];
vector<Edge> edge[MAX_N];
queue<int> q;

void read()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			scanf("%lf",&w[i][j]);
		}
	}
}

inline void add(int s,int t,int c)
{
	edge[s].push_back(Edge(t,c,edge[t].size()));
	edge[t].push_back(Edge(s,0,edge[s].size()-1));
}

void build()
{
	s=(n<<1)-1,t=s+1,S=t+1,T=S+1,tot=T;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		add(s,r(i),ceil(w[i][n])-floor(w[i][n]));
		add(c(i),t,ceil(w[n][i])-floor(w[n][i]));
		a[s]-=floor(w[i][n]),a[r(i)]+=floor(w[i][n]);
		a[c(i)]-=floor(w[n][i]),a[t]+=floor(w[n][i]);
	}
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		for(int j=1;j<n;j++)
		{
			add(r(i),c(j),ceil(w[i][j])-floor(w[i][j]));
			a[r(i)]-=floor(w[i][j]),a[c(j)]+=floor(w[i][j]);
		}
	}
	add(t,s,INF);
	for(int i=1;i<=(n<<1);i++)
	{
		if(a[i]>0) dif+=a[i],add(S,i,a[i]);
		else if(a[i]<0) add(i,T,-a[i]);
	}
}

void bfs(int s)
{
	memset(lv+1,0,sizeof(int)*tot);
	q.push(s),lv[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front(); q.pop();
		for(int i=0;i<edge[x].size();i++)
		{
			Edge temp=edge[x][i];
			if(temp.cap>0 && !lv[temp.dst])
			{
				lv[temp.dst]=lv[x]+1;
				q.push(temp.dst);
			}
		}
	}
}

int dfs(int x,int t,int f)
{
	if(x==t) return f;
	for(int &i=it[x];i<edge[x].size();i++)
	{
		Edge &temp=edge[x][i];
		if(temp.cap>0 && lv[x]<lv[temp.dst])
		{
			int d=dfs(temp.dst,t,min(f,temp.cap));
			if(d>0)
			{
				temp.cap-=d;
				edge[temp.dst][temp.rev].cap+=d;
				return d;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int max_flow(int s,int t)
{
	int ans=0,f;
	while(true)
	{
		bfs(s);
		if(!lv[t]) return ans;
		memset(it+1,0,sizeof(int)*tot);
		while((f=dfs(s,t,INF))>0) ans+=f;
	}
}

void work()
{
	build();
	int now=max_flow(S,T);
	if(now!=dif)
	{
		printf("No\n");
		return;
	}
	printf("%d\n",max_flow(s,t)*3);
}

int main()
{
	read();
	work();
}