【BZOJ4540】 [HNOI2016] 序列（莫队）

点此看题面

大致题意： 求出一个序列的一段区间中所有子序列最小值之和。

莫队

这道题其实是一道莫队题。

但是需要大量的预处理。

预处理

先考虑预处理两个数组\(lst_i\)和\(nxt_i\)，分别表示在第\(i\)个元素左边、右边第一个小于它的元素的位置。

这可以直接用单调栈实现\(O(n)\)预处理。

然后，我们考虑预处理出\(sum_i\)和\(lst_i\)两个数组，分别存储在\([1,i]\)区间右侧插入一个数的代价和在\([i,n]\)区间左侧插入一个数的代价，即\(\sum_{k=1}^i Min_{x=1}^k a_x\)和\(\sum_{k=i}^n Min_{x=k}^n a_x\)。

这可以在预处理\(lst_i\)和\(nxt_i\)的同时这样预处理：

sum[i]=sum[lst[i]]+1LL*a[i]*(i-lst[i]);//suf数组同理

区间移动

接下来，我们要考虑如何处理区间移动（以在左边插入一个数为例）。

首先，我们找到这个区间内最小的数所在的位置\(p\)，显然，第\([p,R]\)的位置与\(L\)所构成的区间的最小值都是\(a_p\)。

然后就考虑\([L,p-1]\)区间内的贡献。

考虑到\([L,p]\)区间内\(a_p\)最小，因此\(suf_L\)值肯定是从\(suf_p\)经过若干次转移得来的。

因此它就满足前缀和性质了，可以直接通过\(suf_L-suf_p\)来计算贡献。

而其他的区间移动操作也是同理的，具体实现详见代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100000
#define LL long long
#define INF 1e9
#define Gmin(x,y) (x>(y)&&(x=(y)))
using namespace std;
int n,query_tot,a[N+5];
class Class_FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (A==B&&(B=(A=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),A==B)?EOF:*A++)
        #define pc(ch) (void)(FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,Fsize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int f,Top,FoutSize;char ch,*A,*B,Fin[Fsize],Fout[Fsize],Stack[Fsize];
    public:
        Class_FIO() {A=B=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void writeln(LL x) {if(!x) return pc('0'),pc('\n');x<0&&(pc('-'),x=-x);while(x) Stack[++Top]=x%10+48,x/=10;while(Top) pc(Stack[Top--]);pc('\n');}
        inline void clear() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),FoutSize=0;}
}F;
class Class_CaptainMotao
{
    private:
        #define AddLeft() {register int p=RMQ.GetMin(--L,R);res+=1LL*a[p]*(R-p+1)+I.suf[L]-I.suf[p];}
        #define AddRight() {register int p=RMQ.GetMin(L,++R);res+=1LL*a[p]*(p-L+1)+I.sum[R]-I.sum[p];}
        #define DelLeft() {register int p=RMQ.GetMin(L,R);res-=1LL*a[p]*(R-p+1)+I.suf[L++]-I.suf[p];}
        #define DelRight() {register int p=RMQ.GetMin(L,R);res-=1LL*a[p]*(p-L+1)+I.sum[R--]-I.sum[p];}
        int S;LL ans[N+5];
        class Class_Initer//初始化
        {
            private:
                int Top,lst[N+5],nxt[N+5],Stack[N+5];
            public:
                LL sum[N+5],suf[N+5];
                inline void Init()
                {
                    register int i;
                    for(i=1;i<=n;++i) {while(Top&&a[Stack[Top]]>=a[i]) --Top;lst[i]=Stack[Top],Stack[++Top]=i,sum[i]=sum[lst[i]]+1LL*a[i]*(i-lst[i]);}
                    for(Stack[Top=0]=n+1,i=n;i;--i) {while(Top&&a[Stack[Top]]>=a[i]) --Top;nxt[i]=Stack[Top],Stack[++Top]=i,suf[i]=suf[nxt[i]]+1LL*a[i]*(nxt[i]-i);}
                }
        }I;
        class Class_RMQ//RMQ
        {
            private:
                #define LogN 20
                int Log2[N+5];
                struct RMQ_data
                {
                    int val,pos;
                    inline friend bool operator < (RMQ_data x,RMQ_data y) {return x.val<y.val;}
                    RMQ_data(int x=0,int y=0):val(x),pos(y){}
                }Min[N+5][LogN+5];
            public:
                inline void Init()
                {
                    register int i,j;
                    for(i=2;i<=n;++i) Log2[i]=Log2[i>>1]+1;
                    for(i=1;i<=n;++i) Min[i][0]=RMQ_data(a[i],i);
                    for(j=1;(1<<j-1)<=n;++j) for(i=1;i+(1<<j-1)<=n;++i) Min[i][j]=min(Min[i][j-1],Min[i+(1<<j-1)][j-1]);
                }
                inline int GetMin(int l,int r) {register int k=Log2[r-l+1];return min(Min[l][k],Min[r-(1<<k)+1][k]).pos;}
        }RMQ;
        struct Query
        {
            int l,r,pos,bl;
            inline friend bool operator < (Query x,Query y) {return x.bl^y.bl?x.bl<y.bl:(x.bl&1?x.r<y.r:x.r>y.r);}
        }q[N+5];
    public:
        inline void Solve()
        {
            register int i,L=1,R=0;register LL res=0;
            for(I.Init(),RMQ.Init(),S=sqrt(n),i=1;i<=query_tot;++i) F.read(q[q[i].pos=i].l),F.read(q[i].r),q[i].bl=(q[i].l-1)/S+1;
            for(sort(q+1,q+query_tot+1),i=1;i<=query_tot;++i)//处理询问
            {
                while(R<q[i].r) AddRight();
                while(L>q[i].l) AddLeft();
                while(R>q[i].r) DelRight();
                while(L<q[i].l) DelLeft();
                ans[q[i].pos]=res;
            }
            for(i=1;i<=query_tot;++i) F.writeln(ans[i]);
        }
}C;
int main()
{
    register int i;
    for(F.read(n),F.read(query_tot),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]);
    return C.Solve(),F.clear(),0;
}