[dp]最长单调递增子序列LIS

https://www.51nod.com/tutorial/course.html#!courseId=12

解题关键：

如果将子序列按照长度由短到长排列，将他们的最大元素放在一起，形成新序列$B\left\{ {{b_1},{b_2}, \ldots  \ldots ,{b_j}} \right\}$，则序列$B$满足${b_1} < {b_2} <  \ldots  \ldots  < {b_j}$。这个关系比较容易说明，假设${b_{xy}}$表示序列A中长度为$x$的递增序列中的第$y$个元素，显然，如果在序列$B$中存在元素${b_{mm}} > {b_{nn}}$，且$m < n$则说明子序列${B_n}$的最大元素小于${B_m}$的最大元素，因为序列是严格递增的，所以在递增序列${B_n}$中存在元素${b_{nm}} < {b_{nn}}$，且从${b_{n0}}$到${b_{nm}}$形成了一个新的长度为$m$的递增序列，因为${b_{mm}} > {b_{nn}}$，所以${b_{mm}} > {b_{nm}}$，这就说明在序列$B$中还存在一个长度为$m$，最大元素为${b_{nm}} < {b_{mm}}$的递增子序列，这与序列的定义，${b_{mm}}$是所有长度为m的递增序列中第$m$个元素最小的序列不符，所以序列$B$中的各元素严格递增。

注意liss存的是下标，主要是为了求pre用，若只求max，你当然可以设成值。

爆炸了，刚发现《挑战竞赛程序设计》上有一个代码非常非常简短的模板，炸了；

STL模板：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<functional>
 using namespace std;  

 const int N=;
 int n=, a[N] = {,,,,,,};
 template<class Cmp>
 int LIS (Cmp cmp){
     static int m=,end[N];
     for(int i=;i<n;i++){
         int pos=lower_bound(end,end+m,a[i],cmp)-end;
         end[pos]=a[i],m+=pos==m;
     }
     return m;
 }
 bool greater1(int value){
     return value>=;
 }  

 int main(){
     cout<<LIS(less<int>())<<endl;         //严格上升
     cout<<LIS(less_equal<int>())<<endl;   //非严格上升
     cout<<LIS(greater<int>())<<endl;      //严格下降
     cout<<LIS(greater_equal<int>())<<endl;//非严格下降
     cout<<count_if(a,a+,greater1)<<endl; //计数
     //第二个参数为末尾元素的下一个位置
     return ;
 }  

最终模板：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define INF 0x3f3f3f3f
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 ll a[],dp[];
 int main(){
     int n;
     cin>>n;
     for(int i=;i<n;i++){
         cin>>a[i];
     }
     fill(dp,dp+n,INF);
     for(ll i=;i<n;i++){
         *lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];
     }
     printf("%lld\n",lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp);
 } 

自己改进模板（不带路径）：注意二分时上界为len+1就ok了，也可以fill成inf，更简单明了

 #include<bits/stdc++.h>
 #define INF 0x3f3f3f3f
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int arr[],dp[];
 int n,len;
 int find1(int x){
     int mid,l=,r=len+;
     while(l<r){
         mid=(l+r)>>;
         if(dp[mid]>x) r=mid;
         else l=mid+;
     }
     return r;
 }
 int lis(){
     int dex;
     for(int i=;i<=n;i++){
        dex=find1(arr[i]);
         dp[dex]=arr[i];
         len=max(len,dex);
     }
     return len;
 }
 int main(){
     cin>>n;
     for(int i=;i<=n;i++){
         cin>>arr[i];
     }
     ll ans=lis();
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

带路径模板1

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int a[],dp[],pre[],res[],n;
 int len;

 int find1(int x){
     int mid,l=,r=len+;
     while(l<r){
         mid=(l+r)>>;
         if(a[dp[mid]]>x) r=mid;
         else l=mid+;
     }
     return r;
 }

 int lis(){
     len=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         int dex=find1(a[i]);
         dp[dex]=i;
         if(dex!=) pre[i]=dp[dex-];
         len=max(len,dex);
     }

     int k=dp[len],t=len;
     while(pre[k]!=k){
         res[t--]=a[k];
         k=pre[k];
     }
     res[t]=a[k];
     return len;
 }
 int main(){
     cin>>n;
     for(int i=;i<=n+;i++)    pre[i]=i;
     for(int i=;i<=n;i++)    cin>>a[i];

     ll ans=lis();
     printf("%lld\n",ans);
     for(int i=;i<=ans;i++){
         printf("%d ",res[i]);
     }
     printf("\n");
 }

带路径模板2

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int arr[],liss[],pre[],res[];
 int find1(int i,int l,int r){
     int mid;
     while(l<r){
         mid=(l+r)>>;
         if(arr[liss[mid]]>arr[i]) r=mid;
         else l=mid+;
     }
     return r;
 }
 int lis(int len){
     int max=;
     liss[]=;
     for(int i=;i<len;i++){
         int index=find1(i,, max-);
         if(index==&&arr[liss[index]]>=arr[i]){
             liss[index]=i;
             continue;
         }//增加这条语句主要是pre的影响，不需要路径的话，完全可以去掉。
         if(index==max-&&arr[liss[index]]<arr[i]){
             liss[max++]=i;
             pre[i]=liss[index];
             continue;
         }
         liss[index]=i;
         pre[i]=liss[index-];
     }

     int k=liss[max-],t=max-;
     while(pre[k]!=k){
         res[t--]=arr[k];
         k=pre[k];
     }
     res[t]=arr[k];
     return max;
 }
 int main(){
     int n;
     cin>>n;
     for(int i=;i<n+;i++){
         pre[i]=i;
     }
     for(int i=;i<n;i++){
         cin>>arr[i];
     }
     ll ans=lis(n);
     printf("%lld\n",ans);
     for(int i=;i<ans;i++){
         printf("%d ",res[i]);
     }
     printf("\n");
 }