题解 P3377 【【模板】左偏树（可并堆）】

所谓的左偏树，是一种可并堆的实现。

这种数据结构能够支持高效的堆合并，但是不支持查询节点等操作，因此不同于平衡树，它的结构是不平衡的。

左偏树满足如下两条基本性质：

1. 堆的性质

这也就是说左偏树每个节点的值都大于/小于它父节点的值。

2. 对于任意节点，其左儿子距离不小于右儿子距离（左偏性质）

这里需要先引入距离的概念。
一个节点的距离，指它到后代中最近的外节点（儿子数量少于2）所经过的边数。

有了上面两条性质，我们不难证明下面这条性质：

3. 对于任意节点，其距离等于其右儿子距离+1

其正确性是显然的，因为左儿子距离大于等于右儿子距离，所以最近的外节点必然在右儿子里。

有了这些性质，我们就可以着手与其操作了。

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合并操作

合并操作将两个左偏树合并在一起。

假如两棵树中有空树，那么返回另一颗即可。

否则取根节点更大/小的那一颗，然后将另一颗并到他的右儿子上去。

由于并完之后右儿子距离可能比左儿子大，所以我们需要特判是否交换儿子。

最后还要更新一下根节点的距离。

int merge (int x,int y) {
	if (!x||!y) return x+y;
    if (val[x]>val[y]) swap(x,y);
    heap[x].rs=merge(heap[x].rs,y);
    if (heap[heap[x].rs].size>heap[heap[x].ls].size) swap(heap[x].ls,heap[x].rs);
    heap[x].dis=heap[heap[x].rs].dis+1;
    return x;
}

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删除操作

没删么好说的，直接将左右儿子并起来就可以了。

int erase (int x) {
	x=merge(heap[x].ls,heap[x].rs);
    return x;
}

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复杂度证明

最后是左偏树合并操作的复杂度证明。

由于我们每一次递归都合并右子树，而一颗树的距离取决于其右子树。

所以最后一颗树被分解的次数不会超过其距离。

也就是说，不会超过\(log(n+1)-1\)次。

那么在最坏情况下，合并复杂度为\(O(log(n_a+1)+log(n_b+1)-2)\)即\(O(log(a)+log(b))\)也就是\(O(log(ab))\)