逻辑回归 vs 决策树 vs 支持向量机（I）

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　　分类问题是我们在各个行业的商业业务中遇到的主要问题之一。在本文中，我们将从众多技术中挑选出三种主要技术展开讨论，逻辑回归（Logistic Regression）、决策树（Decision Trees）和支持向量机（Support Vector Machine，SVM）。

　　上面列出的算法都是用来解决分类问题（SVM和DT也被用于回归，但这不在我们的讨论范围之内）。我多次看到有人提问，对于他的问题应该选择哪一种方法。经典的也是最正确的回答是“看情况而定！”，这样的回答却不能让提问者满意。确实让人很费神。因此，我决定谈一谈究竟是看什么情况而定。

　　这个解释是基于非常简化的二维问题，但足以借此来理解读者棘手的更高维度数据。

　　我将从最重要的问题开始讨论：在分类问题中我们究竟要做什么？显然，我们是要做分类。（这是个严肃的问题？真的吗？）我再来复述一遍吧。为了做分类，我们试图寻找决策边界线或是一条曲线（不必是直线），在特征空间里区分两个类别。

　　特征空间这个词听起来非常高大上，容易让很多新人犯迷糊。我给你展示一个例子来解释吧。我有一个样本，它包含三个变量：x1, x2和target。target有0和1两种值，取决于预测变量x1和x2的值。我将数据绘制在坐标轴上。

　　这就是特征空间，观测值分布于其中。这里因为我们只有两个预测变量/特征，所有特征空间是二维的。你会发现两个类别的样本用不同颜色的点做了标记。我希望我们的算法能计算出一条直线/曲线来分离这个类别。

　　通过目测可知，理想的决策边界（分割曲线）是一个圆。实际决策边界形状的差异则是由于逻辑回归、决策树和支持向量机算法的差异引起的。

　　先说逻辑回归。很多人对逻辑回归的决策边界都有误解。这种误解是由于大多数时候提到逻辑回归，人们就见到那条著名的S型曲线。

　　上图所示的蓝色曲线并不是决策边界。它是逻辑回归模型的二元响应的一种变形。逻辑回归的决策边界总是一条直线（或者一个平面，在更高维度上是超平面）。让你信服的最好方法，就是展示出大家都熟知的逻辑回归方程式。

我们做一个简单的假设，F是所有预测变量的线性组合。

上面的等式也可以写作：

　　当你进行预测的时候，对概率值做一个分数截断，高于截断值的概率为1，否则为0。假设截断值用c表示，那么决策过程就变成了这样：

　　Y=1 if p>c, 否则0。最后给出的决策边界是F>常数。

　　F>常数，无非就是一个线性决策边界。我们样本数据用逻辑回归得到的结果将会是这样。

　　你会发现效果并不好。因为无论你怎么做，逻辑回归方法得到的决策边界总是线性的，并不能得到这里需要的环状边界。因此，逻辑回归适用于处理接近线性可分的分类问题。（虽然可以对变量做变换得到线性可分的结果，但我们在此不讨论这类情况。）

　　接着我们来看决策树如何处理这类问题。我们都知道决策树是按照层次结构的规则生成的。以我们的数据为例。

　　如果你仔细思考，这些决策规则x2 |</>| const OR x1 |</>| const 只是用平行于轴线的直线将特征空间切分，如下图所示。

我们可以通过增加树的大小使它生长得更复杂，用越来越多的分区来模拟环状边界。

　　哈哈！趋向于环状了，很不错。如果你继续增加树的尺寸，你会注意到决策边界会不断地用平行线围成一个环状区域。因此，如果边界是非线性的，并且能通过不断将特征空间切分为矩形来模拟，那么决策树是比逻辑回归更好的选择。

　　然后我们再来看看SVM的结果。SVM通过把你的特征空间映射到核空间，使得各个类别线性可分。这个过程更简单的解释就是SVM给特征空间又额外增加了一个维度，使得类别线性可分。这个决策边界映射回原特征空间后得到的是非线性决策边界。下图比我的解释更清楚。

　　你可以看到，一旦样本数据以某种方式增加了一个维度，我们就能用一个平面来分割数据（线性分类器），这个平面映射回原来的二维特征空间，就能得到一个环状的决策边界。

SVM在我们数据集上的效果多棒啊：

注：决策边界并不是这么标准的圆形，但是非常接近了（可能是多边形）。我们为了操作简便，就用圆环代替了。

　　现在清楚各种区别了吧，但是还有一个问题。也就是说，在处理多维数据时，什么时候该选择何种算法？这个问题很重要，因为若是数据维度大于三，你就找不到简单的方法来可视化地呈现数据。我们将在第二部分讨论这么问题，敬请关注。