tarjan算法总结

部分内容引自https://www.cnblogs.com/stxy-ferryman/p/7779347.html

Tarjan算法不是一个算法而是一类算法

1.求取强连通分量

　　强连通分量————有向图的强连通子图

　　tarjan算法基于dfs，利用栈的思想，把下面所有的点都遍历完毕后，所能链接的最小祖先节点（可能没有），就是要寻找的强连通分量

　　所以我们需要dfn数组存储dfs的遍历顺序,low数组存储这个节点后所有的子孙节点所能到达的最小节点（dfn最小）值

　　为了能够得知构成这个强连通分量的所有的点，可以利用栈去记录，因为退的时候，肯定是退到最头上（如果有额外的分支，那么之前肯定早就退栈了）

　　当我们遍历的时候初始化时dfn = low = idx这个初始化意思很好懂，如果没有后继节点，值就是这个

　　接下来我们可能会面对三种点

　　·没有遍历过的，我们就递归tarjan遍历，然后优化low[u] = min(low[u],low[v])

　　·我们遍历过了，这个点还在栈中，那就代表这个点u可以到达，所以我们更新的时候,low[u] = min(low[u],dfn[v])_____你要知道此时的low[v]是取决于现在的low[u]的因为v在栈中，所以u是v的后继节点，这是一条返祖边

　　·我们遍历过了，这个点不在栈中了，证明这个点经历了一次退栈，形成了一次联通分量，但是不包括u，因为这个点不能到达u，如果这个点可以到达u的话，u又可以到达这个点，那么就不会退栈了（这里的到达都是要经过子孙节点的），所以对于这样的点，不必考虑任何问题

　所以直到遍历完所有的子孙节点我们就可以进行退栈的操作了，那些独立的联通分量的标志就是

　　low == dfn

　　意思就是对于节点u，其子孙节点所能到达的最大节点就是u，也就是形成了一个回路，环，而且可以保证这个环是最大的

所以说了这么多，以上的算法思想用于求取一个图的强连通分量——最后进行color染色处理

void tarjan(int u,int fa)
{
    dfn[u] = low[u] = ++index;
    stk[s_cnt++] = u;
    instk[u] = true;

    for(int i = id[u];~i;i = e[i].pre)
    {
        int v = e[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v,u);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }
        else if(instk[v] == true)
        {
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(dfn[u] == low[u])
    {
        col++;
        while(s_cnt > 0 && stk[s_cnt] != u)
        {
            s_cnt --;
            color[stk[s_cnt]] = col;
            instk[stk[s_cnt]] = false;
        }
    }
}

2.tarjan缩点

利用tarjan算法可以把一个图变成单向无环图

这个继承自强连通分量，对于每一个强连通分量，我们能够看出一个超级点，这个超级点的内部可以互相到达，然后根据这个图所表示的含义，通常要去计算超级点的度，最后输出满足题意的超级点内所有的点

和上面的代码一致

3·求割点和桥（割边）

割点：去掉这个点（和这个点外射的所有边），把一个连通图变成多个连通分量

割边：同样的道理，去掉这条边，把一个连通图变成多个连通分量

这时候我们要判断何时是一个割点

　　1.当前节点是根节点——从这个节点开始的dfs，所以如果这个点有两个子树，那么就是一个割点

　　2.任意节点，如果low[v] >= dfn[u],表示u的这个子孙能够到达的最小祖先节点是比u小的，所以u是子孙v连接祖先的关键点

void tarjan_gedian(int u,int fa)
{
    int son = 0;
    dfn[u] = low[u] = ++index;
    for(int i = id[u];~i;i = e[i].pre)
    {
        int v = e[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v,u);
　　　　　　　　son++;
            low[u] = min(low[u],low[v]);
            if(u != root && low[v] >= dfn[u])
            {
                cut_point[u] = 1;
            }
            else if(u == root && son > 1)
            {
                cut_point[u] = 1;
            }
        }
        else if(v != fa)对于割点u这是一条回路，且u割去之后毫无影响，所以忽略这样的两点间回路情况
        {
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
}