【GZOI2015】石子游戏 博弈论 SG函数

题目大意

　　有\(n\)堆石子，两个人可以轮流取石子。每次可以选择一堆石子，做出下列的其中一点操作：

　　1.移去整堆石子

　　2.设石子堆中有\(x\)个石子，取出\(y\)堆石子，其中\(1\leq y<x\)且\((x,y)=1\)

　　取出最后一颗石子的人胜利。问先手胜还是后手胜。

　　\(n\leq 100\)，每堆石子个数\(a_i\leq {10}^6\)

题解

　　基础知识：SG函数。

　　令\(x\)为某堆石子的个数。

　　\(SG(i)=mex(SG(j)~~~~((i,j)=1)\)

　　先用暴力求一遍SG值，然后会发现：

　　当\(x\)为质数时，\(SG(x)=\)\(x\)是第几个质数\(+1\)。因为前面的质数都可以选，所以就是这个。

　　当\(x\)不是质数时，设\(y\)为\(x\)的最小质因子，则\(SG(x)=SG(y)\)。因为\(y\)之前的都可以选，\(y\)不能选，所以就是\(SG(y)\)。

　　然后直接线性筛计算答案。

　　时间复杂度：\(O(a+n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return s;
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int gcd(int a,int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int sg[1000010];
int pri[100010];
int cnt;
int main()
{
	sg[0]=0;
	sg[1]=1;
	int i,j;
	for(i=2;i<=1000000;i++)
	{
		if(!sg[i])
		{
			pri[++cnt]=i;
			sg[i]=cnt+1;
		}
		for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=1000000;j++)
		{
			sg[i*pri[j]]=sg[pri[j]];
			if(i%pri[j]==0)
				break;
		}
	}
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int n,x,s=0;
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&x);
			s^=sg[x];
		}
		if(s)
			printf("Alice\n");
		else
			printf("Bob\n");
	}
	return 0;
}