洛谷P4590 [TJOI2018]游园会(状压dp LCS)

题意

题目链接

Sol

这个题可能是TJOI2018唯一的非模板题了吧。。

考虑LCS的转移方程，

\[f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1], f[i - 1][j - 1] + (A_i = B_j))
\]

也就是说我们如果知道了前一个列向量\(f[i - 1]\)以及\(A_i, B_j\)我们就可以转移了

那么可以暴力dp，\(f[i][sta][0/1/2]\)表示到第\(i\)个位置，当前LCS数组为sta的方案数，但是这个状态显然是\(K^K\)的。观察到一个性质：sta中的每个位置最多与前一个位置相差为\(1\)，那么其实只需要记录一个差分数组就可以了。转移到的状态可以预处理。

复杂度\(O(9 * N * 2^K)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7;
template <typename A, typename B> inline int add(A x, B y) {if(x + y < 0) return x + y + mod; return x + y >= mod ? x + y - mod : x + y;}
template <typename A, typename B> inline void add2(A &x, B y) {if(x + y < 0) x = x + y + mod; else x = (x + y >= mod ? x + y - mod : x + y);}
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, K;
int f[2][(1 << 15) + 1][3], trans[(1 << 15) + 1][3], one[(1 << 15) + 1], ans[16];
char s[MAXN], ss[5] = "NOI";
int Get(int sta, int c) {
	int pre[16] = {}, nw[16] = {};
	for(int i = 1; i <= K; i++) pre[i] = pre[i - 1] + ((sta >> (i - 1)) & 1);
	for(int i = 1; i <= K; i++) {
		if(ss[c] == s[i]) nw[i] =  pre[i - 1] + 1;
		else nw[i] = max(nw[i - 1], pre[i]);
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= K; i++) ans += (nw[i] - nw[i - 1])  << (i - 1);
	return ans;
}
signed main() {
	N = read(); K = read();
	scanf("%s", s + 1);
	f[0][0][0] = 1; int lim = 1 << K;
	for(int sta = 0; sta < lim; sta++) {
		one[sta] = one[sta >> 1] + (sta & 1);
		for(int i = 0; i < 3; i++) trans[sta][i] = Get(sta, i);
	}
	int o = 0;
	for(int i = 0; i <= N; i++) {
		memset(f[o ^ 1], 0, sizeof(f[o ^ 1]));
		for(int sta = 0; sta < lim; sta++) {
			for(int len = 0; len < 3; len++) {
				for(int c = 0; c < 3; c++) {
					int nxt;
					if(c == 0) nxt = 1;
					else if(c == 1) nxt = (len == 1 ? 2 : 0);
					else if(c == 2) nxt = (len == 2 ? 3 : 0);
					if(nxt == 3) continue;
					add2(f[o ^ 1][trans[sta][c]][nxt], f[o][sta][len]);
				}
			//	cout << f[i + 1][sta][len] << '\n';
			}
		}
		o ^= 1;
	}
	for(int i = 0; i < lim; i++)
		for(int j = 0; j < 3; j++)
			add2(ans[one[i]], f[o ^ 1][i][j]);
	for(int i = 0; i <= K; i++) cout << ans[i] << '\n';
    return 0;
}
/*
*/