【BZOJ-3996】线性代数最小割-最大流

3996: [TJOI2015]线性代数

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Description

给出一个N*N的矩阵B和一个1*N的矩阵C。求出一个1*N的01矩阵A.使得

D=（A*B-C）*A^T最大。其中A^T为A的转置。输出D

Input

第一行输入一个整数N，接下来N行输入B矩阵，第i行第J个数字代表Bij.

接下来一行输入N个整数，代表矩阵C。矩阵B和矩阵C中每个数字都是不超过1000的非负整数。

Output

输出最大的D

Sample Input

3
1 2 1
3 1 0
1 2 3
2 3 7

Sample Output

HINT

1<=N<=500

Source

Solution

首先来化简一下题目中的式子：

设$E=A*B$，很显然E为一个1×N的矩阵，那么有$E_{1,j}=\sum_{i=1}^{N}A_{1,i}B_{i,j}$

那么$A*B-C$就可以化成$F_{1,j}=\sum_{i=1}^{N}A_{1,i}B_{i,j}-C_{1,j}$

那么进一步化简$D_{1,1}=\sum_{j=1}^{N}\left ( \left ( \sum_{i=1}^{N}A_{1,i}B_{i,j}-C_{1,j} \right )*A'_{j,1} \right )$

最后化成：$D=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}A_{i}A_{j}B_{i,j}-\sum_{i=1}^{N}A_{i}C_{i}$

那么从式子的角度去思考建图由于$A$是一个0/1矩阵，不妨把$A$看做“选”或“不选”，那么$B_{i,j}$看做同时选$i$和$j$两个物品的收益，$C_{i}$可以看做选第$i$个物品的代价。

也就是说选$B_{i,j}$必须选$C_{i},C_{j}$

最大权闭合子图.....

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

using namespace std;

int read()

{

    int x=,f=; char ch=getchar();

    while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-')f=-; ch=getchar();}

    while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}

    return x*f;

}

#define maxn 300010

#define maxm 3000010

int N,tot,ans;

struct Edgenode{int to,next,cap;}edge[maxm];

int head[maxn],cnt=;

void add(int u,int v,int w)

{cnt++;edge[cnt].to=v;edge[cnt].cap=w;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;}

void insert(int u,int v,int w)

{add(u,v,w);add(v,u,);}

//

#define inf 0x7fffffff

int dis[maxn],q[maxn<<],cur[maxn],S,T;

bool bfs()

{

    for (int i=S; i<=T; i++) dis[i]=-;

    q[]=S; int he=,ta=;

    while (he<ta)

        {

            int now=q[he++];

            for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)

                if (edge[i].cap && dis[edge[i].to]==-)

                    dis[edge[i].to]=dis[now]+,q[ta++]=edge[i].to;

        }

    return dis[T]!=-;

}

int dfs(int loc,int low)

{

    if (loc==T) return low;

    int w,used=;

    for (int i=cur[loc]; i; i=edge[i].next)

        if (edge[i].cap && dis[edge[i].to]==dis[loc]+)

            {

                w=dfs(edge[i].to,min(low-used,edge[i].cap));

                edge[i].cap-=w; edge[i^].cap+=w;

                used+=w; if (edge[i].cap) cur[loc]=i;

                if (used==low) return low;

            }

    if (!used) dis[loc]=-;

    return used;

}

int dinic()

{

    int tmp=;

    while (bfs())

        {

            for (int i=S; i<=T; i++) cur[i]=head[i];

            tmp+=dfs(S,inf);

        }

    return tmp;

}

//

int main()

{

    N=read(); S=,T=N+N*N+;

    for (int i=; i<=N; i++)

        for (int x,j=; j<=N; j++)

            x=read(),tot+=x,insert((i-)*N+j+N,T,x),

            insert(i,(i-)*N+j+N,inf),insert(j,(i-)*N+j+N,inf);

    for (int x,i=; i<=N; i++)

        x=read(),insert(S,i,x);

    ans=dinic();

    printf("%d\n",tot-ans);

    return ;

}

正解被喝水路过的ShallWe直接秒....不然我还没往最小割模型上靠...