MT【211】保序同构

设$S,T$是$R$的两个非空子集，如果存在一个从$S$到$T$的函数$y=f(x)$满足:
$1)T=\{f(x)|x\in S\};$
2)对任意$x_1,x_2\in S$,当$x_1<x_2$时,恒有$f(x_1)<f(x_2)$,称这两个集合"保序同构".则以下集合对不是"保序同构"的是（   ）
A.$S=N^+,T=N$
B.$S=\{x|-3\le x\le 8,x\ne 5\},T=\{y|-1\le y\le 2,y\ne0\}$
C.$S=\{x|0<x<\pi\},T=R$
D.$S=N,T=Q$

分析:选D.
$A.y=x-1;$B.过$(-3,-1);(5,0);(8,2)$构造折线函数
$C.y=tan(x-\dfrac{\pi}{2})$
D 可以反证法,记$y_1=f(1)\in Q,y_2=f(2)\in Q,$
由性质2),$y_2>y_1$,由性质1)存在$x_0\in N,\dfrac{y_1+y_2}{2}=f(x_0)$,
故$f(2)>f(x_0)>f(1)$由性质2)$2>x_0>1$与$x_0\in N$矛盾.
注：如果选项D改为：$S=N,T=R$则答案是显然的.
由性质1)注意到是满射，故$|S|\ge |T|$,选项D由集合论的知识知道$N$和$Q$ 的势为阿列夫零，$R$的势为阿列夫一.