【BZOJ2159】Crash的文明世界（第二类斯特林数，动态规划）

【BZOJ2159】Crash的文明世界（第二类斯特林数，动态规划）

题面

BZOJ

洛谷

题解

看到\(k\)次方的式子就可以往二项式的展开上面考，但是显然这样子的复杂度会有一个\(O(k^2)\)，因此需要换别的方法。

注意到自然指数幂和第二林斯特林数之间的关系：

\[n^k=\sum_{i=0}^k \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}{n\choose i}i!
\]

那么将答案式化简

\[\begin{aligned}
Ans_x&=\sum_{i=1}^N dis(i,x)^K\\
&=\sum_{i=1}^N \sum_{j=0}^K \begin{Bmatrix}K\\j\end{Bmatrix}{dis(x,i)\choose j}j!\\
&=\sum_{j=0}^K\begin{Bmatrix}K\\j\end{Bmatrix}j!\sum_{i=1}^N {dis(x,i)\choose j}
\end{aligned}\]

那么对于每一个点\(x\)，要求的只有\(\displaystyle \sum_{i=1}^N {dis(x,i)\choose j}\)

我们知道组合数杨辉三角上的转移\(\displaystyle {n\choose m}={n-1\choose m}+{n-1\choose m-1}\)

那么带进去，可以得到：$$\sum_{i=1}^N {dis(x,i)\choose j}=\sum_{i=1}^N {dis(x,i)-1\choose j}+\sum_{i=1}^N {dis(x,i)-1\choose j-1}$$

考虑怎么\(dp\)，设\(f[i][j]\)表示\(i\)子树内的\({dis\choose j}\)的和。

考虑节点\(u\)和其儿子\(v\)。显然\(v\)的子树到\(u\)的距离是到\(v\)的距离\(-1\)。

所以可以得到转移\(\displaystyle f[u][j]=\sum_{v}(f[v][j]+f[v][j-1])\)。

因为需要换根\(dp\)，所以再额外考虑清楚如何减去一个子树的贡献，这里懒得写了。

那么只需要换根\(dp\)做完之后求出所有节点的\(f\)，再预处理第二类斯特林数直接算答案即可。

BZOJ数据有点奇怪，用注释的部分读入

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define MOD 10007
#define MAX 50500
#define MAXK 155
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}
int S[MAXK][MAXK],jc[MAXK];
int f[MAX][MAXK],g[MAX][MAXK],tmp[MAXK];
int n,K;
void dfs(int u,int ff)
{
	f[u][0]=1;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;if(v==ff)continue;
		dfs(v,u);
		for(int j=0;j<=K;++j)f[u][j]=(f[u][j]+f[v][j])%MOD;
		for(int j=1;j<=K;++j)f[u][j]=(f[u][j]+f[v][j-1])%MOD;
	}
}
void DFS(int u,int ff)
{
	for(int j=0;j<=K;++j)g[u][j]=f[u][j];
	if(ff)
	{
		for(int j=0;j<=K;++j)tmp[j]=g[ff][j];
		for(int j=0;j<=K;++j)tmp[j]=(tmp[j]+MOD-f[u][j])%MOD;
		for(int j=1;j<=K;++j)tmp[j]=(tmp[j]+MOD-f[u][j-1])%MOD;
		for(int j=0;j<=K;++j)g[u][j]=(g[u][j]+tmp[j])%MOD;
		for(int j=1;j<=K;++j)g[u][j]=(g[u][j]+tmp[j-1])%MOD;
	}
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
		if(e[i].v!=ff)DFS(e[i].v,u);
}
int main()
{
	/*
	int L,now,A,B,Q;
	scanf("%d%d%d%d%d%d%d",&n,&K,&L,&now,&A,&B,&Q);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		now=(now*A+B)%Q;
		int tmp=i<L?i:L;
		int x=i-now%tmp,y=i+1;
		Add(x,y);
	}
	*/
	n=read();K=read();
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		int u=read(),v=read();
		Add(u,v);Add(v,u);
	}
	S[0][0]=jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=K;++i)jc[i]=jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=1;i<=K;++i)
		for(int j=1;j<=i;++j)
			S[i][j]=(S[i-1][j-1]+j*S[i-1][j])%MOD;
	dfs(1,0);DFS(1,0);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int ans=0;
		for(int j=0;j<=K;++j)
			ans=(ans+1ll*S[K][j]*jc[j]*g[i][j])%MOD;
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}