[题解]RQNOJ PID87 过河

链接：http://www.rqnoj.cn/problem/87

思路：动态规划

定义f[i][j]表示到达第 i 块给定石头用了 j 块添加石头的最少步数。

转移方程：f[i][j]=min{f[k][j-tmp[pos[i]-pos[k]]+1]+tmp[pos[i]-pos[k]]} ，其中0<=k<i 且tmp[pos[i]-pos[k]]-1<=j

其中pos[i]表示第 i 块给定石头的坐标，tmp[i]表示跨过距离 i 需要添加的石头（相当于从坐标0出发到坐标 i ，注意坐标 i 处没有石头，需要放1块）。tmp[i]可以预处理出来，tmp[0]=0，tmp[i]=min{tmp[i-j]}+1，其中S<=j<=T且j<= i 。

最后统计答案，枚举最后落脚的给定石头 i 、用掉的石头 j 以及最后落脚的添加石头的位置 k （L-T+1<=k<=L且k>=pos[i]且j+tmp[k-pos[i]]<=M），ans=min{f[i][j]+tmp[k-pos[i]]+1} 。如果ans=INF即无法到达对岸，需要计算出能走的最远距离，那么枚举最后落脚的给定石头 i ，如果f[i][j]<INF，ans=max{pos[i]+(M-j)*T} 。

我的实现：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 using namespace std;
 5 #define MaxL 100020
 6 #define MaxN 120
 7 #define MaxM 20020
 8 #define INF 100020
 9 int tmp[MaxL],pos[MaxN],f[MaxN][MaxM];
10 int L,N,M,S,T;
11 int ans;
12 inline void Get_int(int &Ret)
13 {
14     char ch;
15     bool flag=false;
16     for(;ch=getchar(),ch<'0'||ch>'9';)
17         if(ch=='-')
18             flag=true;
19     for(Ret=ch-'0';ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9';Ret=Ret*10+ch-'0');
20     flag&&(Ret=-Ret);
21 }
22 int main()
23 {
24     Get_int(L);Get_int(N);Get_int(M);Get_int(S);Get_int(T);
25     int i,j,k;
26     for(i=1;i<=N;++i)
27         Get_int(pos[i]);
28     memset(tmp,0x3f,sizeof(tmp));//预处理 tmp[i]表示距离i放的最少石头数
29     tmp[0]=0;
30     for(i=1;i<=L;++i)
31         for(j=S;j<=T&&i>=j;++j)
32             tmp[i]=min(tmp[i],tmp[i-j]+1);
33     memset(f,0x3f,sizeof(f));//边界
34     f[0][0]=0;
35     for(i=1;i<=N;++i)//dp f[i][j]表示到第i块给定石头用了j块添加石头的最少步数
36         for(j=0;j<=M;++j)
37             for(k=0;k<i;++k)
38                 if(tmp[pos[i]-pos[k]]-1<=j)
39                     f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-tmp[pos[i]-pos[k]]+1]+tmp[pos[i]-pos[k]]);
40     ans=INF;
41     for(i=0;i<=N;++i)//统计答案
42         for(j=0;j<=M;++j)
43             for(k=L;k>=L-T+1&&k>=pos[i];--k)
44                 if(j+tmp[k-pos[i]]<=M)
45                     ans=min(ans,f[i][j]+tmp[k-pos[i]]+1);
46     if(ans==INF)//计算最远到达的坐标
47     {
48         ans=0;
49         for(i=0;i<=N;++i)
50             for(j=0;j<=M;++j)
51                 if(f[i][j]<INF)
52                     ans=max(ans,pos[i]+(M-j)*T);
53     }
54     printf("%d\n",ans);
55     return 0;
56 }

效率：