【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（1）：二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数

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目录

• 前言
• 二阶与三阶行列式
  • 二阶行列式
  • 三阶行列式
• 全排列及其逆序数
  • 全排列
  • 逆序数
• 结语

前言

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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

二阶与三阶行列式

二阶行列式

记作

\(\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}\)

定义

主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差，即：\(a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}\)

注：行列式本质是一个数值，比如\(\begin{vmatrix}
1 & 2\\
3 &4
\end{vmatrix}\)代表的就是数值(-2=1×4-2×3)

举例

\(\begin{vmatrix}
3 & -2\\
2 & 1
\end{vmatrix} = ？\)

答：

\(\begin{vmatrix}
3 & -2\\
2 & 1
\end{vmatrix}=3*1-(-2)*2=3-(-4)=7\)

三阶行列式

记作

\(\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{11}*a_{23}*a_{32}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{13}*a_{22}*a_{31}\)

举例

\(\begin{vmatrix}
1 & 2 & -4\\
-2 & 2 & 1\\
-3 & 4 & -2\\
\end{vmatrix} = ？\)

答：

\(\begin{vmatrix}
1 & 2 & -4\\
-2 & 2 & 1\\
-3 & 4 & -2
\end{vmatrix}=1*2*(-2)+2*1*(-3)+(-4)*(-2)*4-1*1*4-2*(-2)*(-2)-(-4)*2*(-3)=-14\)

全排列及其逆序数

全排列

定义

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

当m=n时所有的排列情况叫全排列。

公式

全排列数f(n)=n!(定义0!=1)

举例

用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?

答：3×2×1=6种。

假设先放百位，有三种可能，再放十位，有两种可能，最后放个位，只有一种可能了。

故为3×2×1=6种

从上面例子可以发现：

当有n个不同数字进行排列时

第一个位置有(n)选择，第二个位置有(n-1)种选择...第n个位置有1种选择，一共有n(n-1)(n-2)...2*1种可能，也就是n!种排列方式。

我们用\(P_{n}\)表示n种不同元素的所有排列的种数，则

\(P_n=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1=n!\)

逆序数

概念

• 标准次序：n个不同的数字，我们可以规定从小到大为标准次序
• 逆序：与标准排列次序相反（比如两个元素排序是从大到小，与标准次序相反，则视为逆序）
• 排列的逆序数：一个排列中所有逆序的总数

计算排列的逆序数的方法

n个元素（依次为1,2,3...n-1,n），规定从小到大为标准次序

设\(p_1p_2...p_n\)为这n个元素的一个排列，对于元素\(p_i\)(i=1,2...,n)，如果比\(p_i\)大的且排在\(p_i\)前面的元素有\(t_i\)个，那么就说\(p_i\)这个元素的逆序数是\(t_i\)。

全体元素的逆序数总和为t，那么

\(t=t_2+t_2+...+t_n=\sum_{t=1}^nt_i\)

即是这个排列的逆序数。

举例

求排列32514的逆序数

答：3在第一位，前面没有数，逆序数为0

2在第二位，前面的数中，有一个数3比2大，所以逆序数为1

5的前面没有比5的数，逆序数为0

1的前面比1大的数有：3、2、5，所以逆序数为3

4的前面比4大的只有5，所以逆序数为1

综上，该排列的逆序数t=0+1+0+3+1=5

补充概念

• 齐排列：逆序数为奇数的排列
• 偶排列：逆序数为偶数的排列

结语

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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