Codeforces 475D CGCDSSQ 区间gcd值

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题意

给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(a_1,...,a_n\) 与 \(q\) 个询问 \(x_1,...,x_q\)，对于每个 \(x_i\) 回答有多少对 \((l,r)\) 满足\(\ (1\leq l\leq r\leq n)\) 且 \(gcd(a_l,a_{l+1},...,a_r)=x_i\)

思路

对于固定的右端点 \(i\)，将左端点从右 (\(i\)) 向左 (\(1\)) 延伸，\(gcd\) 值是递减的，且变化次数不超过 \(logC\) (\(C\)为数列中最大值)

下面讲述两种方法，第一种效率高一些，而第二种也提供了一些新的见解。

法一：滚动数组 —— 更新分段信息

枚举右端点，将由左端点划分出的 \(gcd\) 值分段。每次用新加进来的 \(a_i\) 去与刚刚的若干段再取 \(gcd\) 并更新分段信息，更新的同时统计数目。

保存与更新分段信息 可用滚动数组实现，统计数目 则显然用map（要注意的一点是：需要用map<int, LL>，因为数目可能会爆\(int\)）。

法二：二分 + ST表 —— 找gcd值变化位置

参考自 hzwer.

如果说上一种做法是极大程度地利用了 上一次的信息，那么这一种做法就是抓住了 gcd值具有单调性 这个特点。

因此，确定分段位置可以直接采用二分查找，而如何快速地获取某一段的 \(gcd\) 值呢？就靠 \(ST\) 表大显身手了。

// 学到两点：

// 1. ST表适用的范围不仅局限于区间极值问题

// 2. 系统自带的log是真的慢...

Code

Ver. 1 : 171ms

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100010
using namespace std;
typedef long long LL;
int a[maxn];
int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
struct node { int x, p; };
map<int, LL> mp;
vector<node> v[2];
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        bool me = i & 1,
            op = !me;
        v[me].clear();
        v[me].push_back({a[i], i});
        int last = a[i];
        for (auto nd : v[op]) {
            int temp = gcd(nd.x, a[i]);
            if (temp == last) v[me][v[me].size()-1].p = nd.p;
            else v[me].push_back({temp, nd.p}), last = temp;
        }
        int now = i;
        for (auto nd : v[me]) {
            int pre = nd.p;
            mp[nd.x] += now - pre + 1;
            now = pre - 1;
        }
    }
    int q, x;
    scanf("%d", &q);
    while (q--) {
        scanf("%d", &x);
        printf("%I64d\n", mp[x]);
    }
    return 0;
}

Ver. 2 : 296ms

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100010
using namespace std;
typedef long long LL;
int gcd[maxn][32], a[maxn], n, Log[maxn], bin[32];
map<int, LL> mp;
int Gcd(int a, int b) { return b ? Gcd(b, a%b) : a; }
void rmqInit() {
    Log[0] = -1; bin[0] = 1;
    for (int i = 1; i < 20; ++i) bin[i] = bin[i-1] << 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) Log[i] = Log[i>>1] + 1, gcd[i][0] = a[i];
    for (int j = 1; bin[j] <= n; ++j) {
        for (int i = 1; i + bin[j-1] - 1 <= n; ++i) {
            gcd[i][j] = Gcd(gcd[i][j-1], gcd[i + bin[j-1]][j-1]);
        }
    }
}
int query(int l, int r) {
    int k = Log[r-l+1];
    return Gcd(gcd[l][k], gcd[r-bin[k]+1][k]);
}
int bi(int i, int l, int r, int x) {
    while (r-l>1) {
        int mid = l+r >> 1, val = query(i, mid);
        if (val >= x) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return query(i, r) == x ? r : l;
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    rmqInit();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int l = i;
        while (true) {
            if (l == n+1) break;
            int val = query(i, l);
            int r = bi(i, l, n, val);
            mp[val] += r-l+1;
            l = r+1;
        }
    }
    int q, x;
    scanf("%d", &q);
    while (q--) {
        scanf("%d", &x);
        printf("%I64d\n", mp[x]);
    }
    return 0;
}