【洛谷】【动态规划/背包】P1417 烹调方案

由于你的帮助，火星只遭受了最小的损失。但gw懒得重建家园了，就造了一艘飞船飞向遥远的earth星。不过飞船飞到一半，gw发现了一个很严重的问题：肚子饿了~

gw还是会做饭的，于是拿出了储藏的食物准备填饱肚子。gw希望能在T时间内做出最美味的食物，但是这些食物美味程度的计算方式比较奇葩，于是绝望的gw只好求助于你了。

题目背景

【题目描述：】

一共有n件食材，每件食材有三个属性，ai，bi和ci，如果在t时刻完成第i样食材则得到ai-t*bi的美味指数，用第i件食材做饭要花去ci的时间。

众所周知，gw的厨艺不怎么样，所以他需要你设计烹调方案使得美味指数最大

【输入格式：】

第一行是两个正整数T和n，表示到达地球所需时间和食材个数。

下面一行n个整数，ai

下面一行n个整数，bi

下面一行n个整数，ci

【输出格式：】

输出最大美味指数

[算法分析：]

看似无法用DP做，因为在t时刻完成第i样食材则得到ai-t*bi的美味指数，而不是ai

完成食材的顺序不定，获得的最大美味指数也是不同的。

如果条件是“完成第i样食材获得ai的美味指数”，就是简单的01背包。

那如何使得顺序是最优（即同一时刻做的食材美味指数大的放在前面）呢？

对于两个食材x, y，设t为已用时间

先做x的美味指数为：

　　a[x] - t * b[x] + a[y] - (t + c[x]) * b[y]

　= a[x] - t * b[x] + a[y] - t * b[y] - c[x] * b[y]

　= a[x] + a[y] - t * (b[x] + b[y]) - c[x] * b[y]

先做y的美味指数为：

　　a[y] - t * b[y] + a[x] - (t + c[y]) * b[x]

　= a[y] - t * b[y] + a[x] - t * b[x] - c[y] * b[x]

　= a[x] + a[y] - t * (b[x] + b[y]) - c[y] * b[x]

不难看出，如果要使得先做x的美味指数>先做y的美味指数，则c[x] * b[y] < c[y] * b[x]，

即这道题的排序规则

剩下的事情就是01背包了

[Code:]

 //P1417 烹调方案
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long LL;

 const int MAXN =  + ;
 const int MAXM =  + ;

 int n, T;
 LL f[MAXM];
 struct Food {
     LL a, b, c;
 }h[MAXN];

 inline bool cmp(Food x, Food y) {
     return y.b * x.c < x.b * y.c;
 }

 int main() {
     scanf("%d%d", &T, &n);
     for(int i=; i<=n; ++i) scanf("%lld", &h[i].a);
     for(int i=; i<=n; ++i) scanf("%lld", &h[i].b);
     for(int i=; i<=n; ++i) scanf("%lld", &h[i].c);
     sort(h + , h + n + , cmp);
     for(int i=; i<=n; ++i)
         for(int j=T; j>=h[i].c; --j)
             f[j] = max(f[j], f[j - h[i].c] + h[i].a - j * h[i].b);
     LL ans = ;
     for(int i=; i<=T; ++i)
         ans = max(ans, f[i]);
     printf("%lld\n", ans);
 }