CodeForces - 691E Xor-sequences 【矩阵快速幂】

题目链接

http://codeforces.com/problemset/problem/691/E

题意

给出一个长度为n的序列，从其中选择k个数 组成长度为k的序列，因为(k 有可能 > n) 那么数字是可以重复选择的

使得 aj 属于 a1 -> ak-1 满足 aj ^ aj + 1 中二进制表示中1的个数是3的倍数

思路

很显然 当k == 1的时候，不存在 aj 属于 a1 -> a0 那么 自然是满足的 也就是说 k == 1 的时候 答案就是n

那么 k == 2 的时候 用一个二维01矩阵表示 a[i] ^ a[j] 是否满足条件 如果是 就为1

最后把这个二维矩阵的和 加起来

然后是 k >= 3 的情况

根据矩阵乘法的性质

我们知道 矩阵a * 矩阵b = 矩阵ans

ans[i][j] = a[i][1] * b[1][j] + …… + a[i][n - 1] * b[n - 1][j]

那么很显然 当 k == 3的时候

a[i][1] * b[1][j] 表示的是 数列 arr[i] arr[1] arr[j] 这个数列是否满足题目条件

加入 易知 只有当 arr[i][1] == 1 && arr[1][j] == 1的时候 才是符合的

那么其相乘起来 也是1 是一个长度为3 的满足条件的序列

由此观之，如果 k == 3 只要算 k == 2 的时候 构造的那个矩阵 的 平方 再求和 就是答案

那么 k > 3的时候 答案就是 对 k == 2 的那个矩阵 算 k - 1次幂 就可以

用矩阵快速幂优化

AC代码

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <ctype.h>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#include <list>
#include <numeric>
#include <sstream>
#include <iomanip>
#include <limits>

#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define L(on) ((on)<<1)
#define R(on) (L(on) | 1)
#define mkp(a, b) make_pair(a, b)
#define bug puts("***bug***");
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define rall(x) x.rbegin(), x.rend()
#define CLR(a, b) memset(a, (b), sizeof(a));
#define syn_close ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
#define sp system("pause");
//#define gets gets_s 

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair <int, int> pii;
typedef pair <ll, ll> pll;
typedef vector <int> vi;
typedef vector <ll> vll;
typedef vector < vi > vvi;

const double PI = acos(-1.0);
const double EI = exp(1.0);
const double eps = 1e-8;

inline int read()
{
    char c = getchar(); int ans = 0, vis = 1;
    while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') vis = -vis;  c = getchar(); }
    while (c >= '0' && c <= '9') { ans = ans * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return ans * vis;
}

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
const int maxn = (int)1e2 + 10;
const int MAXN = (int)1e4 + 10;
const ll MOD = (ll)1e9 + 7;

int n;
ll k;
ll arr[maxn];

struct Matrix
{
    ll G[maxn][maxn];
    int len;
    Matrix () {}
    Matrix operator * (const Matrix& r) const
    {
        Matrix tmp; tmp.len = len;
        CLR(tmp.G, 0);
        for (int i = 0; i < len; i++)
            for (int j = 0; j < len; j++)
                for (int k = 0; k < len; k++)
                    tmp.G[i][j] = (tmp.G[i][j] + G[i][k] * r.G[k][j]) % MOD;
        return tmp;
    }
}base;

Matrix pow_mod(Matrix base, ll count)
{
    Matrix ans; ans.len = base.len;
    CLR(ans.G, 0);
    for (int i = 0; i < ans.len; i++)
        ans.G[i][i] = 1;
    while (count)
    {
        if (count & 1)
            ans = ans * base;
        base = base * base;
        count >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll ok(ll x)
{
    ll ans = 0;
    while (x)
    {
        if (x & 1) ans++;
        x >>= 1;
    }
    return (ans % 3 == 0);
}

void input()
{
    scanf("%d%lld", &n, &k);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lld", arr + i);
    base.len = n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            base.G[i][j] = ok(arr[i] ^ arr[j]);
}

void solve()
{
    base = pow_mod(base, k - 1);
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i < base.len; i++)
        for (int j = 0; j < base.len; j++)
            ans = (ans + base.G[i][j]) % MOD;
    cout << ans << endl;
}

int main()
{
    input(); solve();
}