二维树状数组+差分【p4514】上帝造题的七分钟

Description

“第一分钟，X说，要有矩阵，于是便有了一个里面写满了\(0\)的\(n\times m\)矩阵。

第二分钟，L说，要能修改，于是便有了将左上角为\((a,b)\)，右下角为\((c,d)\)的一个矩形区域内的全部数字加上一个值的操作。

第三分钟，k说，要能查询，于是便有了求给定矩形区域内的全部数字和的操作。

第四分钟，彩虹喵说，要基于二叉树的数据结构，于是便有了数据范围。

第五分钟，和雪说，要有耐心，于是便有了时间限制。

第六分钟，吃钢琴男说，要省点事，于是便有了保证运算过程中及最终结果均不超过32位有符号整数类型的表示范围的限制。

第七分钟，这道题终于造完了，然而，造题的神牛们再也不想写这道题的程序了。”

——《上帝造裸题的七分钟》 所以这个神圣的任务就交给你了。

Input

输入数据的第一行为X n m，代表矩阵大小为\(n \times m\)。

从输入数据的第二行开始到文件尾的每一行会出现以下两种操作：

• L a b c d delta —— 代表将\((a,b),(c,d)\)为顶点的矩形区域内的所有数字加上delta。
• k a b c d —— 代表求\((a,b),(c,d)\)为顶点的矩形区域内所有数字的和。

请注意，\(k\)为小写。

Output

针对每个k操作，在单独的一行输出答案。

裸的二维树状数组问题.

二维前缀和:

\[sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j]
\]

考虑差分：

\[d[i][j]表示a[i][j]与a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]的差
\]

此时小推一下式子即可.

区间修改,区间查询：

\[\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}\sum_{k=1}^{i}\sum_{h=1}^{j}d[h][k]
\]

这个时候记录每个位置的\(d[h][k]\)出现了几次.

所以式子变形得到.

\[\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j] \times (x-i+1) \times (y-j+1)
\]

然后把式子展开.就变成这个

\[(x+1)\times (y+1)\times \sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j]-(y+1)\times\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j]\times i -(x+1)\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j]\times j + \sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}d[i][j] \times i \times j
\]

然后四个树状数组数组分别维护这些东西：

\(d[i][j],d[i][j]\times i ,d[i][j] \times j,d[i][j] \times i\times j\)

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#define N 2050
#define R register
using namespace std;
inline void in(int &x)
{
	int f=1;x=0;char s=getchar();
	while(!isdigit(s)){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while(isdigit(s)){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
	x*=f;
}
int t1[N][N],t2[N][N],t3[N][N],t4[N][N],n,m;
#define lowbit(x) x&-x
inline void add(int x,int y,int del)
{
	for(R int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		for(R int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
		{
			t1[i][j]+=del;
			t2[i][j]+=del*x;
			t3[i][j]+=del*y;
			t4[i][j]+=del*x*y;
		}
}
inline void ado(int xa,int ya,int xb,int yb,int z)
{add(xa,ya,z);add(xa,yb+1,-z);add(xb+1,ya,-z);add(xb+1,yb+1,z);}
inline int que(int x,int y)
{
	R int res=0;
	for(R int i=x;i;i-=lowbit(i))
		for(R int j=y;j;j-=lowbit(j))
			res+=(x+1)*(y+1)*t1[i][j]-(y+1)*t2[i][j]-(x+1)*t3[i][j]+t4[i][j];
	return res;
}
inline int query(int xa,int ya,int xb,int yb)
{return que(xb,yb)-que(xb,ya-1)-que(xa-1,yb)+que(xa-1, ya-1);}
char s[6];
int main()
{
	in(n),in(m);
	for(R int a,b,c,d,x;~scanf("%s",s+1);)
	{
		in(a),in(b),in(c),in(d);
		if(s[1]=='L')in(x),ado(a,b,c,d,x);
		else printf("%d\n",query(a,b,c,d));
	}
}