[bzoj3597][scoi2014]方伯伯运椰子——分数规划，负环

题解

目标就是

\[Maximize\ \lambda = \frac{X-Y}{k}
\]

按照分数规划的一般规律，

构造：

\[g(\lambda) = \lambda k + Y - X
\]

由于总流量不变，我们考虑转移流量。

注意到，对于每条边，我们如果增加其容量则会增加(b[i]+d[i]+lambda)点值，如果减少就是(a[i]-d[i]+lambda)点值。

如果可以构成一个负环，那么就一定可以更优。

所以我们二分\(\lambda\)，check即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define eps 1e-5
struct haha {
  int x, y, a, b, c, d;
};
struct edge {
  int from, to;
  double cost;
};
const int maxn = 5005;
vector<edge> G[maxn];
haha b[maxn];
int n, m;
int vis[maxn], flag;
double dist[maxn];
void add_edge(int from, int to, double cost) {
  G[from].push_back((edge){from, to, cost});
}
void dfs(int i) {
  vis[i] = 1;
  for (int j = 0; j < G[i].size(); j++) {
    edge &e = G[i][j];
    if (dist[e.to] > dist[i] + e.cost) {
      if (vis[e.to])
        flag = 1;
      else {
        dist[e.to] = dist[i] + e.cost;
        dfs(e.to);
      }
    }
  }
  vis[i] = 0;
}
bool check(double lambda) {
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    G[i].clear();
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    if (b[i].c)
      add_edge(b[i].y, b[i].x, b[i].a - b[i].d + lambda);
    add_edge(b[i].x, b[i].y, b[i].b + b[i].d + lambda);
  }
  flag = 0;
  memset(vis, 0, sizeof(vis));
  memset(dist, 0, sizeof(dist));
  for (int i = 1; i <= n && !flag; i++) {
    dfs(i);
  }
  return flag;
}
int main() {
  // freopen("input", "r", stdin);
  scanf("%d %d", &n, &m);
  n += 2;
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    scanf("%d%d%d%d%d%d", &b[i].x, &b[i].y, &b[i].a, &b[i].b, &b[i].c, &b[i].d);
  double L = 0, R = 10000000;
  while (R - L > eps) {
    double mid = (L + R) / 2;
    if (check(mid))
      L = mid;
    else
      R = mid;
  }
  printf("%.2f\n", L);
}

总结

1. 图上的分数规划问题要考虑分摊到每个边上。
2. 分数规划问题要注意double的赋值。