偏序问题及CDQ分治详解

CDQ用来解决分治时左半部分对右半部分造成影响的问题。

CDQ分治的经典问题是三维偏序问题。

要想解决三维偏序问题，首先你要知道什么是偏序。（废话）

一维偏序：

给出直线上的n个点，问有多少对点满足xi<=xj

对于这个问题，直接排序就可以了。

二维偏序：

给定平面内的n个点，问有多少对点满足xi<=xj且yi<=yj

这是个经典的树状数组问题，相信学过树状数组的人一定都做过·一道叫做数星星的题，这道题就是经典的二维偏序问题，并不需要二维数组，我们可以通过按x坐标为第一关键字排序，从而消除x坐标给答案带来的影响。然后我们用一个树状数组维护前缀和，记录之前有多少点的y坐标比该点小，由于在之前的x坐标一定比较小，因此只要保证y坐标即可。

三维偏序：

给出空间内的n个点，问有多少点对满足xi<=xj且yi<=yj且zi<=zj

树套树？？？码量++，空间++

在不强制在线的情况下，我们完全可以使用CDQ分治这种东西来简化一层树结构，因此三维偏序问题实际上可以这样处理：

1）仿照二位偏序问题，先给x排序，消除其影响。

2）使用CDQ分治，消除y的影响

3）使用数组维护z的前缀，统计答案。

1）、3）都是二维偏序的正常步骤，下面重点来讲讲CDQ分治

前边已经讲过了，CDQ分治要处理左区间对右区间的贡献问题。

其实很简单，我们把每一步操作分成三步：

1）递归处理左区间；2）递归处理右区间；3）处理左区间对右区间的贡献。

在三维偏序问题中，之所以不考虑右区间对左区间的贡献，是因为按x排序了，因此右区间一定不会对左区间造成贡献。

然后我们直接就按y排序，然后看一个东西是在左区间还是右区间，是左区间就放进一个树状数组中，否则直接求贡献。

因为CDQ直接分治到最小的单位，也就是一个点，因此可以保证所有答案都是没有遗漏的。

为了保证答案的不重复性，我们可以在求完贡献后把树状数组内贡献再撤消；

例题：洛谷P3810:陌上花开

参考代码如下：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #define N 500005
 #define lowbit(x) x&-x
 using namespace std;
 int read()
 {
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=(x<<)+(x<<)+(ch^);ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 struct node{int x,y,z,id;}a[N];
 bool cmpa(node a,node b)
 {
     if(a.x!=b.x)return a.x<b.x;
     if(a.y!=b.y)return a.y<b.y;
     return a.z<b.z;
 }
 bool cmpb(node a,node b)
 {
     if(a.y!=b.y)return a.y<b.y;
     if(a.x!=b.x)return a.x<b.x;
     return a.z<b.z;
 }
 int n,k,tot,c[],b[],f[],s,j,block[];
 void modify(int x,int m){for(;x<=k;x+=lowbit(x))c[x]+=m;}
 int query(int x){int res=;for(;x;x-=lowbit(x))res+=c[x];return res;}
 void cdq(int l,int r)
 {
     if(l==r)return;
     int mid=(l+r)/;
     cdq(l,mid);cdq(mid+,r);
     sort(a+l,a+r+,cmpb);
     for(int i=l;i<=r;i++)(a[i].x<=mid)?modify(a[i].z,),s=:b[a[i].id]+=query(a[i].z);
     for(int i=l;i<=r;i++)if(a[i].x<=mid)modify(a[i].z,-);
 }
 int main()
 {
     ios::sync_with_stdio();cin.tie();cout.tie();
     cin>>n>>k;//n=read();k=read();
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].z;//=read();a[i].y=read();a[i].z=read();
         a[i].id=i;
     }
     sort(a+,a++n,cmpa);
     for(int i=;i<=n;)
     {
         j=i+;
         while(j<=n&&a[i].x==a[j].x&&a[i].y==a[j].y&&a[i].z==a[j].z)j++;
         while(i<j)block[a[i].id]=a[j-].id,i++;
     }
     for(int i=;i<=n;i++)a[i].x=i;
     cdq(,n);
     for(int i=;i<=n;i++)f[b[block[a[i].id]]]++;
     for(int i=;i<n;i++)printf("%d\n",f[i]);
     return ;
 }

三位偏序模板代码