中国剩余定理(CRT) & 扩展中国剩余定理(ExCRT)总结

标签：数学方法——数论

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前置浅讲

前置知识点：$Exgcd$

这两个东西都是用来解同余方程组的

形如

\[\left\{
\begin{aligned}
x\equiv B_1(mod\ W_1)\\
x\equiv B_2(mod\ W_2)\\
\cdots\\
x\equiv B_n(mod\ W_n)\\
\end{aligned}
\right.
$$给定$B_i$和$W_i$，求解唯一解$x$满足上述方程组
PS：**个人认为自己的$ExCRT$讲得好一些**

## 中国剩余定理(CRT)
心理准备：这里我觉得自己讲得不是很清晰，有点说不清的感觉
在上述方程中，存在一种特殊情况，即$W_i$全部互质
~~有什么用呢，用处就是可以用中国剩余定理（孙子定理）~~</a>
首先，古人告诉我们：
解上面那个方程相当于对于每一个$B_i$：
> 把$B_i$变成$1$，其他的$B$变成$0$的解$x$
然后答案就是$\sum(x*B_i)$
也就是解每一个形如下面的方程组的解$x$在乘上$B_i$：
\]

\left{

\begin{aligned}

x\equiv 0(mod\ W_1)\

x\equiv 0(mod\ W_2)\

\cdots\

x\equiv 1(mod\ W_i)\

\cdots\

x\equiv 0(mod\ W_n)\

\end{aligned}

\right.

\[
~~别问我为什么，我不知道~~
那么考虑怎么求呢？
记$M$为$\prod W_i$
显然解$x$必须是$M/W_i$的倍数
那么方程变为
\]

(M/W_i)y\equiv 1(\mod W_i)

\[$Exgcd$求解即可，再加进答案
```
lst CRT()
{
lst tot=1,Ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)tot*=W[i];
for(int i=1;i<=n;++i)
{
lst now=tot/W[i],x,y;
Exgcd(now,W[i],x,y);//不需要我讲吧！
x=(x%W[i]+W[i])%W[i];//这个取膜貌似很关键诶
Ans=(Ans+Mult(Mult(x,now,tot),B[i],tot)+tot)%tot;//Mult是快速乘
}return Ans>=0?Ans:Ans+tot;
}
```
## 扩展中国剩余定理(ExCRT)
再把方程组放一遍：
\]

\left{

\begin{aligned}

x\equiv B_1(mod\ W_1)\

x\equiv B_2(mod\ W_2)\

\cdots\

x\equiv B_n(mod\ W_n)\

\end{aligned}

\right.

\[这个时候我们的$W_i$不互质了
那么我们考虑对所有的方程一个一个求解
假设我们求解到了第$i$个方程
前面的方程组解出来答案是$Ans$
那我们是不是可以把之前求解的答案看做一个这样的同余方程：
\]

x\equiv Ans(\mod M)

\[其中$M$是前$i-1$个$W$的最小公倍数，$x$使我们想得到的新解
如果看不出请补一下同余方程。。。
很显然这些都是已知量了吧
那我们为了求出前$i$个方程的解就相当于要解出下面这个方程组了对不对
\]

\left{

\begin{aligned}

x\equiv Ans(\mod M) \

x\equiv B_i(\mod W_i)\

\end{aligned}

\right.

\[用$A_1$表示Ans，$B_1$表示M，$A_2$表示$B_i$，$B_2$表示$W_i$，$Ans$表示新答案
可以化为
\]

Ans=B_1x1+A_1=B_2x2+A_2

\[\]

\therefore B_1x1-B_2x2=A_2-A_1

\[为了使用扩展欧几里德我们设
\]

B_1x-B_2y=Gcd(B_1,B_2)

\[那么我们会解出一个$x'$，而真正的$x1$如下
$$x1=x'×\dfrac{A_2-A_1}{GCD(B_1,B_2)}$$我们再回代就得到了新解$Ans$\]

Ans=B_1x1+A_1

\[有点凌乱请认真看(trust me)！
模板题：[洛谷P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4777)
代码：
```
#include<bits/stdc++.h>
#define lst long long
#define ldb double
#define N 100050
using namespace std;
const int Inf=1e9;
lst read()
{
lst s=0,m=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
while( isdigit(ch))s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return m?-s:s;
}

lst n,Ans,x,y,M;
lst A[N],B[N];

lst qmul(lst x,lst y,lst p)
{
lst ret=0;
while(y)
{
if(y&1)ret=(ret+x)%p;
x=(x+x)%p;y>>=1;
}return ret;
}

lst Exgcd(lst a,lst b,lst &x,lst &y)
{
if(!b){x=1,y=0;return a;}
lst ss=Exgcd(b,a%b,x,y),t;
t=x,x=y,y=t-(a/b)*y; return ss;
}

int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
B[i]=read(),A[i]=read();
Ans=A[1],M=B[1];
//根据上面的详解一步对应一行
for(int i=2;i<=n;++i)
{
lst Get=((A[i]-Ans)%B[i]+B[i])%B[i];
lst GCD=Exgcd(M,B[i],x,y);
x=qmul(x,Get/GCD,B[i]);//qmul是龟速乘
Ans+=M*x;
M*=B[i]/GCD;//这里是更新辅助下一次计算
Ans=(Ans+M)%M;
}printf("%lld\n",Ans);
return 0;
}
```\]