HDU 4651 (生成函数)
HDU 4651 Partition
Problem :
n的整数划分方案数。(n <= 100008)
Solution :
参考资料:
五角数 欧拉函数 五边形数定理 整数划分 一份详细的题解
欧拉函数的定义如下:
\]
五边形定理对欧拉函数展开如下:
\]
其中 \(\frac{3n^2\pm n}{2}\)为广义五边形数。
而欧拉函数的倒数为
\]
\]
\]
其中P(q)即为q的整数划分方案数,可以从展开式的意义考虑,对于第一个括号表示1取几个,第二个括号表示2取几个,以此类推。
将上下两个式子相乘即得到
\]
\]
展开可得到
\]
其中要保证括号内的数大于等于0.
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 8;
const int mo = 1e9 + 7;
int dp[N];
int main()
{
cin.sync_with_stdio(0);
int n = 1e5;
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
for (int j = 1, tmp = 1; i >= (3 * j * j - j) / 2; ++j, tmp *= -1)
{
int x = (3 * j * j - j) / 2;
int y = (3 * j * j + j) / 2;
dp[i] = ((dp[i] + tmp * dp[i - x]) % mo + mo) % mo;
if (i >= y) dp[i] = ((dp[i] + tmp * dp[i - y]) % mo + mo) % mo;
}
}
int T; cin >> T;
while (T--)
{
int n; cin >> n;
cout << dp[n] << endl;
}
}
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