【HNOI模拟By YMD】move

Description

设P(n)为从(0,0)移动到点(n,0)的不同路径数目，移动的方式有以下三种：(x,y)->(x+1,y-1)，(x,y)->(x+1,y)，(x+y)->(x+1,y+1)，并且路径不能和第四象限有交集。求P(n)，并对10^9+7取模。

Input

第一行一个整数T，表示数据组数。

对于每组数据，一行一个整数n。

Output

对于每组数据，输出答案。

Data Range

20%：n≤10；
50%：n≤10000；
100%：n≤106，T≤10。

Solution

20%　　

直接O(3^n*n)的暴力枚举即可。

50%

考虑第一次直线y=0的点，假设是(i,0)。

那么从(1,1)到(i-1,1)之间的路径均在直线y=1的上方，显然有P(i-2)种。同理，从(x,0)到(n,0)之间的路径均在直线y=0的上方，有P(n-i)种。

所以，全部合起来可以得到P(n)=Σⁿ_i=1 P(i-2)P(n-i)，其中，规定P(-1)=P(0)=1。

其实可以在20%基础上打个表，考场有超过5人这样写。。。

100%

假设移动的路径中一共有i个(x,y)->(x+1,y+1)，那么就一定会有i个(x,y)->(x+1,y-1)，n-2i个(x,y)->(x+1,y)。

而如果不考虑所有的(x,y)->(x+1,y)，那么路径的种数就是第i个Catalan数，设为C_i。如果加入(x,y)->(x+1,y)，也就是在2i+1个空处中插入n-2i相同的球，方案数是C²ⁱ_n。

所以，P(n)=Σⁿ_i=1 C_i C²ⁱn。

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 using namespace std;

 typedef long long LL;

 #define N 1000010
 #define MOD 1000000007

 int t;
 int n;

 LL f[N],d[N];

 inline LL qpow(LL a,LL b)
 {
     LL ans=;
     while (b)
     {
         if (b&)
             ans=(1LL*ans*a)%MOD;
         b>>=;
         a=(1LL*a*a)%MOD;
     }
     return ans;
 }

 inline LL C(LL x,LL y)
 {
     return f[x]*d[y]%MOD*d[x-y]%MOD;
 }

 inline LL Catalan(LL x)
 {
     return (C(x<<,x)-C(x<<,x-)+MOD)%MOD;
 }

 int main()
 {
     freopen("move.in","r",stdin);freopen("move.out","w",stdout);
     scanf("%d",&t);
     f[]=;
     for (int i=;i<=;i++)
         f[i]=f[i-]*i%MOD;
     for (int i=;i<=;i++)
         d[i]=qpow(f[i],MOD-)%MOD;
     while (t--)
     {
         scanf("%d",&n);
         LL ans=;
         for (int i=;i<=n;i+=)
             ans+=C(n,i)*Catalan(i>>),ans%=MOD;
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }