[bzoj1485][HNOI2009]有趣的数列_卡特兰数_组合数

有趣的数列 bzoj-1485 HNOI-2009

题目大意：求所有1~2n的排列满足奇数项递增，偶数项递增。相邻奇数项大于偶数项的序列个数%P。

注释：$1\le n\le 10^6$，$1\le P \le 10^9$。

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想法：好题啊。

我们依次考虑1~2n，就是把当前$i$放进奇数项还是偶数项的问题。因为我们有相邻奇数项大于偶数项的问题。所以当前放进奇数项的个数不能多于放进偶数项的个数。

进而我们将放进奇数项比作进栈，放进偶数项比作出栈。

答案就相当于$n$的出栈入栈序的个数。

等于$Catalan_n$。

利用卡特兰数的通项公式：$Catalan_n=\frac{C_{2n}^{n}}{(n+1)}$。

$=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$。

用枚举质因子的方式求每个质因子的贡献即可。

Code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod;
bool vis[2000010];
int prime[2000010],cnt;
ll qmul(ll x,ll y)
{
	ll ans=0; x%=mod,y%=mod; while(y)
	{
		if(y&1) (ans+=x)%=mod;
		y>>=1;
		(x+=x)%=mod;
	}
	return ans;
}
ll qpow(ll x,ll y)
{
	ll ans=1; x%=mod; while(y)
	{
		if(y&1) (ans*=x)%=mod;
		y>>=1;
		(x*=x)%=mod;
	}
	return ans;
}
void init()
{
	for(int i=2;i<=2000000;i++)
	{
		if(!vis[i]) prime[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&1ll*i*prime[j]<=2000000;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
ll num(ll x,ll p)
{
	ll re=0; while(x)
	{
		re+=(x/p); x/=p;
	}
	return re;
}
int main()
{
	init();
	ll n; cin >> n >> mod ;
	ll ans=1;
	for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]<=n*2;i++)
	{
		ans=qmul(ans,qpow(prime[i],num(2*n,prime[i])-num(n,prime[i])-num(n+1,prime[i])));
	}
	cout << ans << endl ;
	return 0;
}

小结：好题啊。关于模型的转化总是非常重要且巧妙的。