CF1237E 【Balanced Binary Search Trees】

首先我们要注意到一个性质：由于根与右子树的根奇偶性相同，那么根的奇偶性与\(N\)相同

然后我们发现对于一个完美树，他的左右两个儿子都是完美树

也就是说，一颗完美树是由两棵完美树拼成的

注意到另一个性质：由于权值是一个排列，假设根节点为\(x\)，那么左子树的范围是\([1, x - 1]\)，右子树为\([x + 1, n]\)

由于根节点和\(N\)奇偶性相同，那么左子树的大小与\(N\)的奇偶性相反，所以右子树大小为偶数

如果子树区间为\([l, r]\)，那么其实可以把它看成\([1, r - l + 1]\)，所以只和子树大小有关，和子树权值无关

手玩一波小数据：

当\(N=1\)时，就是一个点

当\(N=2\)时，二为根，一为根的左子树

当\(N=3/4\)时为样例

当\(N=5\)时，可以用两个2的子树拼成

然后我们发现，能作为右子树的只有\(2/4\)，前五个都不是满二叉树，所以我们可以合并两颗树，当且仅当两个二叉树高度相同

发现2的高度为2，没有与之相同树高的树，所以能作为右子树的只有\(4\)

所以我们就有：用\(4/5\)可以凑出\(9/10\)，\(9/10\)又可以拼出\(19/20\)……

所以我们就可以用\(4/5\)一路递推下去，发现每次都*了\(2\)，所以复杂度为\(O(logN)\)

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
	int n, x = 4, y = 5;
	scanf("%d", &n);
	if(n == 1 || n == 2) return puts("1"), 0;
	while(y < n) {
		if(x & 1) x = 2 * y, y = x + 1;
		else x = 2 * y - 1, y = x + 1;
	}
	return printf("%d", (x == n || y == n)), 0;
}