LOJ572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和 [莫比乌斯反演，杜教筛，min_25筛]

传送门

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思路

（以下令\(F(n)=f(n)^k\)）

首先肯定要莫比乌斯反演，那么可以推出：

\[ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2\sum_{d|T}F(d)\mu(T/d)
\]

可以整除分块，但后面的东西怎么办呢？

令\(G(T)=F*\mu\)，那么就有

\[ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2G(T)
\]

看到\(\mu\)函数有点烦，考虑用杜教筛的式子消去它。

\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n (F*\mu*g)(i)-\sum_{d=2}^n S(n/d)
\]

显然令\(g(n)=1\)，则\(\mu*g=[n=1]\)，于是

\[S(n)=\sum_{i=1}^n F(i)-\sum_{d=2}^n S(n/d)
\]

\(\sum_{i=1}^n F(i)\)可以min_25筛搞出来，然后就做完了。（参见UOJ188. 【UR #13】Sanrd）

复杂度？一个\(O(\sqrt{n})\)的整除分块套上一个\(O(n^{3/4})\)的没有预处理的杜教筛，再套一个\(O(\frac{n^{3/4}}{\log n})\)的min_25筛，但它就是能过QwQ。

就当复杂度是\(O(能过)\)吧。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
	using namespace std;
	#define pii pair<int,int>
	#define fir first
	#define sec second
	#define MP make_pair
	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
	#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	#define templ template<typename T>
	#define sz 2010101
	#define mod 4294967296ll
	typedef long long ll;
	typedef double db;
	mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
	templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
	templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
	templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
	templ inline void read(T& t)
	{
		t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
		if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
		t=(f?-t:t);
	}
	template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
	char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
	inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
	inline void print(register int x)
	{
		if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
		while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
		while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
	}
	void file()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		freopen("a.in","r",stdin);
		#endif
	}
	inline void chktime()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
		#endif
	}
	#ifdef mod
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
	ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
	#else
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
	#endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,K;

int pri[sz],cnt;
ll kpow[sz];
bool npri[sz];
void init()
{
	#define x i*pri[j]
	rep(i,2,sz-1)
	{
		if (!npri[i]) pri[++cnt]=i,kpow[cnt]=ksm(i,K);
		for (int j=1;j<=cnt&&x<sz;j++)
		{
			npri[x]=1;
			if (i%pri[j]==0) break;
		}
	}
	#undef x
}

namespace SolveF
{
	int Sqr;
	int w[sz];
	int id1[sz],id2[sz],m;
	ll g[sz];
	int id(int x){return x>=Sqr?id2[n/x]:id1[x];}
	ll solve(int n,int j)
	{
		if (n<=1) return 0;
		ll ret=kpow[j-1]*(g[id(n)]-(j-2))%mod;
		for (int k=j;1ll*pri[k]*pri[k]<=n;k++)
			for (int P=pri[k];1ll*P*pri[k]<=n;P*=pri[k])
				(ret+=solve(n/P,k+1))%=mod;
		return ret;
	}
	bool vis[sz];
	ll ans[sz];
	ll solve(int n){if (vis[id(n)]) return ans[id(n)];vis[id(n)]=1;return ans[id(n)]=solve(n,1)+g[id(n)];}
	void init()
	{
		Sqr=sqrt(n);
		for (int i=1,j;i<=n;i=j+1)
		{
			int x=n/i;j=n/x;w[++m]=x;
			if (x<Sqr) id1[x]=m; else id2[j]=m;
			g[m]=x-1;
		}
		rep(i,1,cnt) rep(N,1,m)
		{
			if (1ll*pri[i]*pri[i]>w[N]) break;
			int x=w[N]/pri[i];
			g[N]-=g[id(x)]-(i-1);
		}
	}
}

namespace SolveG
{
	unordered_map<int,ll>M;
	ll solve(int n)
	{
		if (n<=1) return 0;
		if (M[n]) return M[n];
		ll ret=SolveF::solve(n);
		for (int i=2,j;i<=n;i=j+1)
		{
			j=n/(n/i);
			(ret-=1ll*(j-i+1)*solve(n/i)%mod-mod)%=mod;
		}
		return M[n]=ret;
	}
}

int main()
{
	file();
	read(n,K);
	init();SolveF::init();
	ll ans=0;
	for (int l=1,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		ans=(ans+1ll*(n/l)*(n/l)%mod*(SolveG::solve(r)-SolveG::solve(l-1)+mod)%mod)%mod;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}