Loj刷题记录

又是一年云参营。

所以一起刷省选题吧。

LOJ2028 「SHOI2016」随机序列

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简要社论

发现+和-可以互相抵消，于是有贡献的时候一段前缀的乘积。设\(s[i]=\prod_{j=1}^i a[j]\)，则答案为\(2\sum_{i=1}^{n-1}3^{n-i}s[i]+s[n]\)。
使用线段树维护前缀积就可以了。code

LOJ2038 「SHOI2015」超能粒子炮・改

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简要社论

\[
\begin{aligned}
F(n,k)&=\sum_{i=0}^k\binom{n}{i} \\
&=\sum_{i=0}^k\binom{n \ \mathrm{mod} \ p}{i \ \mathrm{mod} \ p}\binom{n/p}{i/p} \\
&=\sum_{i=0}^p\binom{n \ \mathrm{mod} \ p}{i}\sum_{j=0}^{\lfloor\frac{k-i}{p}\rfloor}\binom{n/p}{j}
\end{aligned}
\]
差不多转成一个递归的柿子了。预处理\(F(n,k)(n,k\in [0,p))\)，时间复杂度\(O(n^2+T\log n)\).code

LOJ2143 「SHOI2017」组合数问题

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简要社论

组合意义，转为在\(n\)个元素中选\(\mathrm{mod} k=r\)个元素。
矩阵乘法优化转移，时间复杂度\(O(k^3\log n)\)，code

LOJ2146 「SHOI2017」寿司餐厅

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简要社论

最大权闭合子图的模板。
闭合子图：在一个有向图中的一个子图\(S\)，满足\(\forall x\in S\)，\(x\)不能到达\(S\)之外的点。
最大权闭合子图：字面意思（点带权）
具体到这题就是，我们发现实际上这些元素是一些互相依赖的关系（选了\(y\)才能选\(x\)），那么连一条边\(x\rightarrow y\)，构成了一个有向图。
标准做法是使用最小割，设一个源点\(S\)和一个汇点\(T\)，对于点\(x\)，割掉与\(S\)相连的边表示不选这个物品，否则割掉与\(T\)相连的边表示选这个物品。若\(v>0\)，则连一条边\((S,x,v)\)，否则连一条边\((x,T,-v)\)。
那么我们看边\(x\rightarrow y\)，如果不割\((x,y)\)，要保证\(S\rightarrow x\rightarrow y\rightarrow T\)这条路径不存在，就是不能不选\(y\)且选\(x\)。所以连边\((x,y,+\infty)\)
直接跑一遍dinic就可以过了。code

LOJ2192 「SHOI2014」概率充电器

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简要社论

首先大家都知道是树d，设\(f[x]\)表示\(x\)没有通上电的概率，但是我们不能列出一个高斯消元的式子，不然复杂度就炸掉了。
正解是使用up down的方法，首先计算出\(g[x]\)表示只考虑\(x\)的子树，\(x\)通上电的概率，这个直接dfs一遍，并且\(f[rt]=g[rt]\)。之后推下去，计算\(x\)对\(x\)的儿子\(v\)的贡献，发现\(f_x\)对\(f_v\)就是\(f_x\)去掉\(g_v\)对它的贡献（这里比较绕，建议画图理解）
注意除0的问题，时间复杂度\(O(n)\)，code

LOJ6044 「雅礼集训 2017 Day8」共

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简要社论

首先要在\(n-1\)个点中选出\(k-1\)个点作为奇数的点。
于是就变为了有标号完全二分图\(K_{n,m}\)有多少个生成树。
你可以手推行列式，也可以使用prufer序列来理解。
首先prufer序列的长度为\(n+m-2\)，回想一下prufer序列和树互相转化的过程，就知道里面有\(m-1\)个位置填\([1,n]\)的数，有\(n-1\)个位置填\([1,m]\)的数，并且位置是已经固定的。
所以答案就是\(\binom{n-1}{k-1}\times k^{n-k-1}\times (n-k)^{k-1}\)。
代码？雾。。。

LOJ6045 「雅礼集训 2017 Day8」价

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简要社论

我回想起刚才好像做过一道题叫寿司餐厅，于是开始思考怎么用网络流建图。。。
然后我自闭了。。。日常不会网络流建图。。。
点开了题解，题解说只用连这些边就可以。\((S,i,\infty-w_i),(i,j+n,\infty),(j+n,T,\infty)\)，然后用\(S\)连出的所有边的边权之和-最小割就可以了。其中\(i\)表示减肥药，\(i+n\)是药材。
为什么呢？跟刚才一样，割掉\((S,i)\)表示不选第\(i\)个减肥药。首先割掉中间的边没有割掉右边的边优。其次，所有边权都是\(\infty\)级别的，而且求的是最小割，所以割掉\(n\)条边，也就是不选的减肥药+选的药材=n，所以就是选的减肥药=选的药材。满足这两个条件，跑出来的就是正确答案了。
代码？咕了。。。

LOJ6046 「雅礼集训 2017 Day8」爷

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简要社论

你发现如果没有\(len\le 10\)这个限制的话，这是个open题。于是只能从这里入手。
暴力分块的话，外层二分，块内二分要两个log，比\(n^2\)还慢。
所以考虑去掉一个，~~不容易发现~~相邻几个数都是比较接近的，所以我们可以重新分块。build的时候从左往右扫，当发现\(max-min>S\)的时候就分出一个块，其中\(S\)是个常数，大约取2000，然后就可以对每一块维护\(\le i\)的数的个数（因为\(i\in [min,max]\)的值域较小）。
大概1000次修改重构一次整个序列。这样就可以过去了。
代码？咕了。。。

LOJ2036 「SHOI2015」自动刷题机

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简要社论

QNMD 省选题（逃

LOJ2037 「SHOI2015」脑洞治疗仪

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简要社论

线段树维护当前区间最大脑洞，和\(1\)的个数，修改就直接打标记。
QNMD 省选题（逃