[实变函数]2.1 度量空间 (metric space), $n$ 维 Euclidean 空间

1 回忆:    $$\bex    \lim_{n\to\infty}a_n=a\lra \forall\ \ve>0,\ \exists\ N,\ \forall\ n\geq N,\mbox{ 有 }|a_n-a|<\ve.    \eex$$

$\bbR$ 中有 ``距离'' (可以衡量两数的接近程度, 这里是绝对值) 的概念.

2 拓广: 设 $X$ 是一个集合, $d:X\times X\to [0,\infty)$ 满足

(1) 正定性 (positivity): $d(x,y)\geq 0$, $d(x,y)=0\lra x=y$;

(2) 对称性 (symmetry): $d(x,y)=d(y,x)$;

(3) 三角不等式 (triangle inequality): $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$;

则称 $d$ 为 $X$ 上的一个距离 (distance),

$(X,d)$ 称为度量空间 (metric space).

3 对称性 $+$ 三角不等式 $\lra$ $d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)$.

证明: $ra$ 显然.

$\la$ 取 $z=x$, 有 $$\bex d(x,y)\leq d(x,x)+d(y,x)\ra d(x,y)\leq d(y,x). \eex$$

互换 $x,y$ 的位置而得 $d(x,y)=d(y,x)$.

4 若 $(X,d)$ 是度量空间, $\vno \neq Y\subset X$, 则 $(Y,d)$ 于是度量空间, 称为 $(X,d)$ 的子

空间.

5 例: 在 $\bbR^n$ 中, 对    $$\bex    x=(x_1,\cdots,x_n),\quad y=(y_1,\cdots,y_n),    \eex$$

定义    $$\bex    d(x,y)=\sez{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}^{1/2},    \eex$$

则 $(\bbR^n,d)$ 为度量空间, 称为 $n$ 维 Euclidean 空间, $d$ 称为 Euclidean 距离.

6 邻域、极限及其他.

(1) $U(P_0,\delta)=U(P_0)=\sed{P; d(P,P_0)<\delta}$.

(2) $$\bex \lim_{n\to\infty}P_n=P_0\lra \forall\ \ve>0,\ \exists\ N,\ \forall\ n\geq N,\mbox{ 有 }P_n\in U(P_0,\ve). \eex$$

(3) $$\bex d(A,B)=\inf_{P\in A,Q\in B}d(P,Q);\quad diam(E)=\sup_{P\in E,Q\in E}d(P,Q). \eex$$

(4) $$\beex \bea E\mbox{ 有界}&\lra diam(E)<\infty\\    &\lra \exists\ R>0,\ \forall\ x\in E,\ d(x,0)<R. \eea \eeex$$

(5) $n$ 为开、闭区间为 $$\bex \prod_{i=1}^n (a_i,b_i),\quad \prod_{i=1}^n [a_i,b_i], \eex$$

它们都有 ``体积'' $\dps{\prod_{i=1}^n (b_i-a_i)}$.