Leetcode（4）-两个排序数组的中位数

 

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2 。

请找出这两个有序数组的中位数。要求算法的时间复杂度为 O(log (m+n)) 。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
 
中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
 
中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

自己的思路：既然两个数组都是有序的，我可以将两个数组合并成一个数组，依然有序，然后根据奇偶来判断出中位数。

double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2)
{
    vector<int>nums;
    int i=0,j=0;
    while(i<nums1.size() && j<nums2.size())
    {
        if(nums1[i]<nums2[j])
        {
            nums.push_back(nums1[i++]);
        }
        else
        {
            nums.push_back(nums2[j++]);
        }
    }
    if(i==nums1.size())
    {
        while(j<nums2.size())
            nums.push_back(nums2[j++]);
    }
    else if(j==nums2.size())
    {
        while(i<nums1.size())
            nums.push_back(nums1[i++]);
    }
    if(nums.size()%2)
        return nums[nums.size()/2];
    else
    {
        return (double)(nums[nums.size()/2]+nums[nums.size()/2-1])/2;
    }
}

但是这个算法很明显的不符合题目中的算法复杂度的要求，所以整理了他人的优秀实现方法

（1）中位数，其实就是找到第k个大小的元素的特例。在单数组中实现方式简单，关键是如何在两个数组中找到第k大的元素。

难就难在要在两个未合并的有序数组之间使用二分法，这里我们需要定义一个函数来找到第K个元素，由于两个数组长度之和的奇偶不确定，因此需要分情况来讨论，对于奇数的情况，直接找到最中间的数即可，偶数的话需要求最中间两个数的平均值。下面重点来看如何实现找到第K个元素，首先我们需要让数组1的长度小于或等于数组2的长度，那么我们只需判断如果数组1的长度大于数组2的长度的话，交换两个数组即可，然后我们要判断小的数组是否为空，为空的话，直接在另一个数组找第K个即可。还有一种情况是当K = 1时，表示我们要找第一个元素，只要比较两个数组的第一个元素，返回较小的那个即可。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]大于B[k/2-1]，则A[k/2-1]小于合并之后的第k小值。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

同理当A[k / 2 - 1] > B[k / 2 -1]时存在类似的结论

当A[k / 2 - 1] = B[k / 2 -1]时，表示，在在A的k/2 -1之前已经有k/2 -1和数小于A[k / 2 -1]，同理在B 之前也是一样的，所以此时已经找到了第k小的数，即这个相等的元素。

    double findKth(vector<int> &nums1, int i, vector<int> &nums2, int j, int k)
    {
        // 首先需要让数组1的长度小于或等于数组2的长度
        if (nums1.size() - i > nums2.size() - j) {
            return findKth(nums2, j, nums1, i, k);
        }
        // 判断小的数组是否为空，为空的话，直接在另一个数组找第K个即可
        if (nums1.size() == i) {
            return nums2[j + k - 1];
        }
        // 当K = 1时，表示我们要找第一个元素，只要比较两个数组的第一个元素，返回较小的那个即可
        if (k == 1) {
            return min(nums1[i], nums2[j]);
        }
        int pa = min(i + k / 2, int(nums1.size())), pb = j + k - pa + i;
 
        if (nums1[pa - 1] < nums2[pb - 1]) {
            return findKth(nums1, pa, nums2, j, k - pa + i);
        }
        else if (nums1[pa - 1] > nums2[pb - 1]) {
            return findKth(nums1, i, nums2, pb, k - pb + j);
        }
        else {
            return nums1[pa - 1];
        }
    }
     double findMedianSortedArrays(vector<int> A, vector<int> B) {
        int sizeA = A.size(), sizeB = B.size();
        if (sizeA <= 0 && sizeB <= 0) {
            return 0;
        }
        int total = sizeA + sizeB;
        if (total % 2 == 1) {
            return findKth(A, 0, B, 0, total / 2 + 1);
        }
        else {
            return (findKth(A, 0, B, 0, total / 2) + findKth(A, 0, B, 0, total / 2 + 1)) / 2;
        }
    }

这里比较难理解的点是判断(nums1[pa - 1] < nums2[pb - 1])之后执行了return findKth(nums1, pa, nums2, j, k - pa + i)；其实这个操作是因为目前nums1的分界线的值小于nums2分界线的值，那么证明nums1分界线以及前面的值都小于合并后的第k的值，也就是中位数。那么我们可以从这里开始，继续寻找第k-(pa-i)的值，直到两个值相等为止。

（2）分治法。

https://hk029.gitbooks.io/leetbook/%E5%88%86%E6%B2%BB/004.%20Median%20of%20Two%20Sorted%20Arrays[H]/004.%20Median%20of%20Two%20Sorted%20Arrays[H].html

    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        if(nums1.size() == 0)
            return MedofArray(nums2);
        if(nums2.size() == 0)
            return MedofArray(nums1);
        int n = nums1.size();
        int m = nums2.size();
        if(n > m)   //保证数组1一定最短
            return findMedianSortedArrays(nums2,nums1);
        int L1,L2,R1,R2,c1,c2,lo = 0, hi = 2*n;  //我们目前是虚拟加了'#'所以数组1是2*n+1长度
        while(lo <= hi)   //二分
        {
            c1 = (lo+hi)/2;  //c1是二分的结果
            c2 = m+n- c1;
            L1 = (c1 == 0)?INT_MIN:nums1[(c1-1)/2];   //map to original element
            R1 = (c1 == 2*n)?INT_MAX:nums1[c1/2];
            L2 = (c2 == 0)?INT_MIN:nums2[(c2-1)/2];
            R2 = (c2 == 2*m)?INT_MAX:nums2[c2/2];
 
            if(L1 > R2)
                hi = c1-1;
            else if(L2 > R1)
                lo = c1+1;
            else
                break;
        }
        return (max(L1,L2)+ min(R1,R2))/2.0;
    }
    double MedofArray(vector<int>& nums)
    {
        if(nums.size() == 0)    return -1;
        return (nums[nums.size()/2]+nums[(nums.size()-1)/2])/2.0;
    }

需要细细思考下