题目来源:To the Max

题目大意:给定一个N*N的矩阵,求该矩阵中的某一个矩形,该矩形内各元素之和最大,即最大子矩阵问题。

解题方法:最大子序列之和的扩展

解题步骤:

1、定义一个N*N的矩阵state,state[j][k]用来存放矩阵的某行中第j到k个元素的最大值;

2、对于行如何处理呢?我们可以将第一行中的N个元素的所有组合的最大值存放在state中,如果有哪个值小于0,清零,因为它没有做任何贡献;定计算第二行时与第一行的值(全部大于等于0)进行累加,这样就完成了第一行与第二行的累加,即计算一个2行的子矩阵,依次类推。

具体算法(java版,可以直接AC)

 static int maxValue(int[][] array, int size) {
int max = Integer.MIN_VALUE;
int[][] state = new int[size][size];
for (int i = 0; i < size; i++) { // 第i行
for (int j = 0; j < size; j++) {// 第j列
int sum = 0;
for(int k=j;k<size;k++){// 第k列
sum+=array[i][k]; //计算从i到k的值
state[j][k] += sum;
if (state[j][k] > max) {
max = state[j][k];
}
if(state[j][k]<0){ //没有做贡献,清零
state[j][k]=0;
}
}
}
}
return max;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
int size = input.nextInt();
int[][] array = new int[size][size];
for (int i = 0; i < size; i++) {
for (int j = 0; j < size; j++) {
array[i][j] = input.nextInt();
}
}
System.out.println(maxValue(array, size));
}

为了方便理解,贴出state中值得变化情况:

数据:

0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2

i=0时state中的值(由于第一行所有的值都不大于0,所以全部为0):

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

i=1时state中的值:

9 11 5 7
0 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 2

i=2时state中的值:

5 8 0 1
0 3 0 0
0 0 0 0
0 0 0 3

i=3时state中的值:

4 15 7 6
0 11 8 6
0 0 0 0
0 0 0 1

如果有什么更好地解决方案,希望大家可以一起分享!

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