CF1295

A

用计算器式显示数字，可以显示 \(n\) 段。可以显示的最大数字是多少？

如果用了一个需要至少四段的数字，一定不如把这个替换成两个 \(1\) 好。

如果一共可以用偶数个，一定是全部 \(1\)。

如果一共可以用奇数个，一定是开头一个 \(7\)，之后全是 \(1\)。

B

给定一个 \(01\) 序列 \(s\) 和 \(k\)，\(t\) 为 \(s\) 的无限重复。求 \(x\) 的个数，\(x\) 满足：\(t\) 的前 \(x\) 个元素中的 \(0\) 的个数减 \(1\) 的个数等于 \(k\).

令 \(balance(len)=cnt_{0,len}-cnt_{1,len}\)。

注意到 \(balance(len)=[\frac{len}{n}]\times balance(n)+balance(len\mod n)\).

而 \(balance(0\sim n)\) 可以预处理出来。

我们只需要枚举 \(i=0\sim n-1\)，判断 \(x-balance(i)\) 是否为 \(balance(n)\) 的倍数即可。

注意，不仅要判断倍数，还要判断 \(\dfrac{x-balance(i)}{balance(n)}\) 是否非负！！！

C

老套路题。

记 \(nxt_{pos,ch}\) 为从 \(pos\) 号位置开始，下一个 \(ch\) 在哪里出现。

一个贪心：如果遇到一个能匹配当前字符的，就一定要配上。

D

给定 \(a,m\)，求所有 \(x\) 满足 \(gcd(a+x,m)=gcd(a,m)\).

\(gcd(a+x,m)=gcd(a,m)\)，不妨令 \(x'=(a+x)\% m\)，这样 \(gcd(a+x,m)=gcd(x',m).\)

于是现在的问题转化为：\(gcd(x',m)=gcd(a,m),x'\in [0,m).\)

设 \(gcd(a,m)=g,a=a'g,m=m'g\)，因为 \(gcd(x',m)=g\)，则 \(x'=x''g\)。

此时应有 \(gcd(x'',m')=1,x''\in[0,m')\)，而每一个与 \(m'\) 的 \(gcd\) 等于 \(1\) 的数，都可以唯一对应到原问题中的 \(x\)。

这时问题转化为求 \(0\sim m'-1\) 中和 \(m'\) 互质的数的个数，发现 \(1\sim m'-1\) 的个数就是 \(\varphi(m')\)。

而 \(gcd(0,m')=1\) 是否成立还要看 \(m'=1\)，但是 \(m'=1\) 说明 \(m=g\) 说明 \((a,m)=m\) 说明 \(m\mid a\) 说明 \(a\geq m\) 矛盾。

所以答案就是 \(\varphi(m')\).

E

给定一个 \(1\sim n\) 的排列 \(p\) 和一个花费数组 \(a\)。

可以选一个 \(k\in [1,n-1]\) 把 \(p\) 分成两半：\(p_{1\sim k},p_{k+1\sim n}\).

可以选择这两组中的一些元素移动到另外一组，第 \(i\) 个元素的移动代价是 \(a_i\)。

经过一些移动后，要求第一组中所有元素都小于第二组中所有元素。如果某一组空了，也满足条件。

求最小代价和。

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枚举 \(k=0\sim n\)，表示最终我们希望 \(1\sim k\) 在第一组中。

令 \(t[i]\) 表示此时把排列分成 \(1\sim i-1,i\sim n\) 两段的最小代价。（此时就是当我们枚举 \(k\) 时 \(k\) 每变一次都求一次）

对于 \(k=k'\) 时，\(t[i]=\)（\(p[1]\sim p[i-1]\) 中不属于 \(1\sim k'\) 的元素的代价之和）+（\(p[i]\sim p[n]\) 中属于 \(1\sim k'\) 的元素的代价之和），这时我们知道，如果要 \(1\sim k'\) 在第一组，答案就是此时的 \(\min(t[2],\dots,t[n])\)。

现在的问题在于，我们不能对每一个 \(k\) 都求一次 \(t\) 数组，复杂度会爆。

我们发现，当 \(k\) 加 \(1\) 时，变化其实很少：\(t[2]\sim t[pos[k+1]]\) 都 \(+a[pos[k+1]]\)，\(t[pos[k+1]+1]\sim t[n]\) 都 \(-a[pos[k+1]]\)。\(pos[k+1]\) 表示在排列中 \(k+1\) 的位置。

这是因为如果我们要让 \(k+1\) 去第一组，那所有初始没有包含 \(k+1\) 的分法，也就是在 \(2,\dots,pos[k+1]\) 分开的方法，都需要额外花 \(a[pos[k+1]]\) 的代价把 \(k+1\) 放到左边。

这可以用线段树维护。区间加 + 区间最小值（求 \(t\) 的最小）。